Corrigé EML 1999 par Pierre Veuillez

On a besoin de cos = sin : sin = cos : cos 2 + sin 2 = 1

et de t 0 π / 2 cos ( t ) 1 0 sin ( t ) 0 1

  1. On a : w 0 = 0 π / 2 cos 0 t t = 0 π / 2 1 t = π 2 w 1 = 0 π / 2 cos 1 t t = [ sin ( t ) ] 0 π / 2 = 1

  2. On compare w n + 1 et w n t pour celà on comparer les contenus des intégrales.

    cos ( t ) n + 1 cos ( t ) n = cos ( t ) n ( cos ( t ) 1 ) 0 pour t [ 0 , π / 2 ] car 0 cos ( t ) 1 (variations de cos )

    Donc cos ( t ) n + 1 cos ( t ) n pour tout t [ 0 , π / 2 ] et comme de plus 0 π / 2 alors

    0 π / 2 cos n + 1 t t 0 π / 2 cos n t t et finalement la suite w est bien décroissante.

  3. Pour tout t [ 0 , π / 2 ] : cos ( t ) 0 donc 0 π / 2 cos n t t 0 et w n 0 .
    Donc la suite w est décroissante et minorée par 0 donc convergente.

    Attention : on ne connait pas sa limite (ce n'est pas forcément 0) On sait seulement qu'elle est positive ou nulle.

  4. Qui primitivier et qui dériver... ?

    Le n + 1 fait penser à la dérivée d'une puissance n + 1

    Donc dans w n + 2 on intègra par parties avec :

    u ( t ) = cos n + 1 t : u ( t ) = ( n + 1 ) cos n t sin t

    v ( t ) = cos ( t ) : v ( t ) = sin ( t )

    avec u et v de classe C 1 sur [ 0 , π / 2 ]

    w n + 2 = [ cos n + 1 t sin t ] 0 π / 2 0 π / 2 ( n + 1 ) cos n t sin t sin t t = ( n + 1 ) 0 π / 2 cos n t sin 2 t t

    Et comme sin 2 t = 1 cos 2 t alors

    w n + 2 = ( n + 1 ) 0 π 2 cos n t sin 2 t t = ( n + 1 ) 0 π 2 cos n t ( 1 cos 2 t ) t = ( n + 1 ) 0 π 2 cos n t      t v ( n + 1 ) 0 π 2 cos n + 2 t      t = ( n + 1 ) w n ( n + 1 ) w n + 2

    Et en repassante les w n + 2 dans la membre de gauche w n + 2 = n + 1 n + 2 w n .

  5. Comme la suite w est décroissante minorée par et 0 n + 1 n + 2 w n w n + 1 w n

    Reste à prouver le 0 par récurrence.

    Cependant, la relation de récurrence relie w n à w n + 2 . Il faut donc faire la récurrence pour 2 termes successsifs :

    En divisant de part et d'autre par w n > 0 n + 1 n + 2 w n + 1 w n 1 et par encadrement w n + 1 w n 0 d'où w n + 1 w n quand n + .

  6. la récurrence n'est pas utilie ici,

    u n + 1 = ( n + 2 ) w n + 1 w n + 2 = ( n + 2 ) w n + 1 n + 1 n + 2 w n = ( n + 1 ) w n w n + 1 = u n

    La u de terme général u n = ( n + 1 ) w n w n + 1 est donc constante et vaut donc w 0 w 1 = π / 2

    Donc π 2 = ( n + 1 ) w n w n + 1 n w n w n et w n 2 n π 2 1 d'où w n n π 2 1 et

    w n π 2 n quand n + .

(EML 1999)