EML 1999

Pour tout entier naturel n , on note : w n = 0 π / 2 cos n t t .

  1. Calculer w 0 et w 1 .

  2. Montrer que la suite ( w n ) n est décroissante.

  3. Montrer pour tout entier naturel n : w n 0 .
    En déduire que la suite ( w n ) n est convergente.

  4. Soit n . A l'aide d'une intégration par parties, montrer que: w n + 2 = ( n + 1 ) 0 π / 2 cos n t sin 2 t t

    En déduire : w n + 2 = n + 1 n + 2 w n .

  5. Montrer pour tout entier naturel n , en utilisant 2. et 4. : 0 < n + 1 n + 2 w n w n + 1 w n
    En déduire : w n + 1 w n quand n + .

  6. Montrer, en utilisant 4., que la suite ( u n ) n de terme général u n = ( n + 1 ) w n w n + 1 est constante.
    En déduire : w n π 2 n quand n + .