Corrigé EML 1993 par Pierre Veuillez

Pour tout entier n on note: I n = 0 1 e x 2 ( 1 x ) n x    et   J n = 0 1 x e x 2 ( 1 x ) n x .

    1. Soit f ( x ) = x e x 2 . f est dérivable sur et f ( x ) = e x 2 2 x 2 e x 2 = ( 1 2 x 2 ) e x 2

      x 0 1 / 2 1
      1 2 x 2 poly + 0
      f ( x ) + 0
      x e x 2 0 1 / 2 e 1 / e

    2. On a d'après les variations, pour tout x de [ 0 , 1 ] : 0 x e x 2 1 / 2 e

      Comme sur [ 0 , 1 ] on a 1 x 0 on a alors pour tout x de [ 0 , 1 ] : 0 x e x 2 ( 1 x ) n ( 1 x ) n / 2 e

      Enfin comme 0 1 , on peut intégrer l'inégalité : 0 0 1 x e x 2 ( 1 x ) n x 0 1 ( 1 x ) n / 2 e x = 1 2 e [ ( 1 x ) n + 1 n + 1 ] x = 0 1

      soit : 0 J n 1 2 e ( n + 1 )

    3. Comme 1 / ( n + 1 ) 0 , par encadrement on a alors J n n + 0

    1. On a I n = 0 1 e x 2 ( 1 x ) n x

      Soit u ( x ) = e x 2 et v ( x ) = ( 1 x ) n et u ( x ) = 2 x e x 2 et v ( x ) = 1 n + 1 ( 1 x ) n + 1 avec u et v de classe C 1 .

      en intégrant par parties on a :

      0 1 e x 2 ( 1 x ) n x = [ 1 n + 1 ( 1 x ) n + 1 e x 2 ] x = 0 1 0 1 2 x e x 2 × 1 n + 1 ( 1 x ) n + 1 x = 1 n + 1 2 n + 1 0 1 x e x 2 ( 1 x ) n + 1 x = 1 n + 1 2 n + 1 J n + 1

    2. On a alors I n 0 quand n + et

      n I n = n ( 1 n + 1 2 n + 1 J n + 1 ) = n n ( 1 1 + 1 / n 2 1 + 1 / n J n + 1 ) 1