(ECICOME 93)

Soit x un réel strictement positif.

On pose pour tout entier naturel n : S n ( x ) = k = 0 n ( 1 ) k k + x + 1 = 1 x + 1 1 x + 2 + On se propose d'étudier la limite S ( x ) de S n ( x ) lorsque n + .

Pour tout entier naturel n on pose: f p ( t ) = t x + p 1 + t  si  0 < t 1 ,  f p ( 0 ) = 0 et I p ( x ) = 0 1 f p ( t ) t .

  1. Montrer que pour tout entier naturel p , l'intégrale I p ( x ) existe.

  2. Montrer que pour tout t de [ 0 , 1 ] : 1 1 + t = k = 0 n ( 1 ) k t k + ( 1 ) n + 1 t n + 1 1 + t

  3. Déduire de ce qui précède que l'on a: 0 1 t x 1 + t t = S n ( x ) + R n ( x )  où  R n ( x ) = ( 1 ) n + 1 0 1 t n + x + 1 1 + t t

  4. Démontrer que pour tout entier n : 0 0 1 t n + x + 1 1 + t t 1 n + 2

  5. Conclure que l'on a : S ( x ) = 0 1 t x 1 + t t

  6. Etude du cas x = 1 / 2 .

    En utilisant le changement de variable u = t 1 / 2 calculer S ( 1 / 2 ) (on rapelle que 0 1 x 1 + x 2 x = π 4 par le changement x = tan ( y ) )

  7. En déduire que l'on a: lim n + k = 0 n ( 1 ) k 2 k + 1 = π 4 .

(ECICOME 93)