(ESC 1999)

Partie A : étude d'une fonction.

Soit f la fonction définie sur \mathbb par:     f(x)=ln(1+ x2 ).
On désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé.
  1. Montrer que f est une fonction paire
  2. Etudier les variations de f et préciser sa limite en +.
  3. Montrer que f(x) est équivalent à 2lnx quand x tend vers +.
    En déduire la nature de la branche infinie de C en +.
  4. Etudier la concavité de C et calculer les coordonnées des points d'inflexion.
  5. Construire C ainsi que ses tangentes à l'abscisse 0 et aux points d'inflexion.
    On donne ln20,7.

Partie B : étude d'une intégrale.

Pour n\mathbb, on pose In = 0 1\dfrac x2n+1 1+ x2 dx.
  1. Calculer I0 .
    1. Calculer I0 + I1 .
    2. En déduire I1 .
    1. Quel est le signe de In ?
    2. Montrer que :     In + In+1 =\dfrac12n+2
    3. En déduire que :     In \dfrac12n+2.
    4. Montrer que la suite ( In )n\mathbb est convergente et calculer sa limite.

Partie C : étude d'une série

    1. Montrer par récurrence que:
      n\mathbb *       2(-1 )n-1 In = k=1 n\dfrac(-1 )k-1 k-ln2

    2. En déduire limn+ k=1 n\dfrac(-1 )k-1 k
    1. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que:
      In =\dfrac14(n+1)+\dfrac1n+1 0 1\dfrac x2n+3 (1+ x2 )2 dx

    2. Etablir les inégalités :     0 0 1\dfrac x2n+3 (1+ x2 )2 dx\dfrac12n+4
    3. En déduire limn+ nIn .
  1. A l'aide des questions précédentes, donner un équivalent de
    k=1 n\dfrac(-1 )k-1 k-ln2

    quand n tend vers +.
(ESC 1999)



File translated from TEX by TTM, version 3.59.
On 18 May 2004, 00:02.