(EML 2000)

On considère la fonction f : ] 1 ; + [ définie, pour tout x de ] 1 ; + [ , par :

f ( x ) = { 1 si  x = 0 ln ( 1 + x ) x si  x ] 1 ; 0 [ ] 0 ; + [ .

    1. Montrer que f est continue sur ] 1 ; + [ .

    2. Montrer que f est de classe C 1 sur ] 1 ; 0 [ et sur ] 0 ; + [ Pour tout réel x de ] 1 ; 0 [ ] 0 ; + [ , calculer f ( x )

    3. Montrer que f ( x ) tend vers 1 2 lorsque x tend vers 0 .

    4. En déduire que f est de classe C 1 sur ] 1 ; + [ .

  1. Montrer : x ] 1 ; + [ , x x + 1 ln ( 1 + x ) 0 En déduire les variations de f . On précisera les limites de f en 1 et + .

  2. Montrer que, pour tout x ] 1 2 ; + [ , l'intégrale x 2 x f ( t ) t existe.

  3. On considère la fonction F : ] 1 2 ; + [ définie, pour tout x de ] 1 2 ; + [ , par : F ( x ) = x 2 x f ( t ) t .

    1. Montrer que F est dérivable sur ] 1 2 ; + [ et que F est croissante. (indication hors sujet : on pourra prendre une primitive de f )

    2. Montrer que x ] 0 ; + [ , F ( x ) x f ( 2 x ) .

    3. En déduire que F ( x ) tend vers + quand x tend vers + .

(EML 2000)