EDHEC 1999
Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
Partie 1

On pose, pour tout n élément de * , un = p=1 n \dfrac1p.
    1. Montrer que : p * , p p+1 \dfracdtt\geqslant\dfrac1p+1.
    2. En déduire que : n * , un \leqslant1+ln(n).
  1. On considère la fonction ϕ1 définie sur + par : { ϕ1 (0)=0 ϕ1 (x)=x(1+ln(x)) si x>0
    Montrer que ϕ1 est continue sur + .
  2. Pour tout réel x positif et pour tout entier naturel n non nul, on pose :
    ϕn+1 (x)= 0 x ϕn (t)dt ( On rappelle que ϕ1 a été définie à la question 2).
    1. Montrer que, pour tout n élément de * , la fonction ϕn est parfaitement définie et continue sur + . Que vaut ϕn (0) ?
    2. Vérifier qu'il existe deux suites ( an )n * et ( bn )n * telles que :
      n * ,x + * , ϕn (x)= xn ( an + bn lnx).
      On montrera que : n * , an+1 =\dfrac an n+1-\dfrac bn (n+1)2 et bn+1 =\dfrac bn n+1
  3. Ecrire un programme en Turbo Pascal qui calcule et affiche les n premiers termes de chacune des suites ( an ) et ( bn ) pour une valeur de n entrée par l'utilisateur.
  4. Calculer bn .
  5. Pour tout n élément de * , on pose : cn =n! an .
    1. Montrer que cn =2- un .
    2. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : | cn |\leqslant1+ln(n).
    3. Conclure que limn+ an =0.
    4. Montrer enfin que la série de terme général an est absolument convergente.


EDHEC 1999



File translated from TEX by TTM, version 3.59.
On 18 May 2004, 00:02.