Corrigé EML 1996 par Pierre Veuillez
Pour tout entier naturel n, on note In =\limits 0 1 xn e-x dx
    1. pour encadrer l'intégrale, on encadre son contenu :
      Pour 0x1 on a 0 e-x e0 car x e-x est décroissante sur et 0 xn e-x xn car xn 0
      Donc comme 01 (ordre des bornes ) 0 10dx 0 1 xn e-x 0 1 xn dx= [ xn+1 n+1 ]0 1 donc 0 In \dfrac1n+1
    2. Et comme 1/(n+1)0 alors par encadrement In 0 quand n+
  1. Dans In soit u' (x)= xn :u(x)= xn+1 n+1 :v(x)= e-x : v' (x)=- e-x avec u et v de classe C1

    In = [ xn+1 n+1 e-x ]0 1 - 0 1 xn+1 n+1 (- e-x )dx = e-1 n+1 + 1 n+1 0 1 xn+1 e-x dx = \dfrac1(n+1)e+\dfrac In+1 n+1

    1. On a alors en soustrayant \dfrac1(n+1)e: In -\dfrac1(n+1)e=\dfrac In+1 n+1 et comme 0 In+1 \dfrac1n+2 alors

      n\mathbb      0 In -\dfrac1(n+1)e\dfrac1(n+1)(n+2)

    2. On en déduit en divisant par que 0\dfrac In \dfrac1(n+1)e-1\dfracen+2 et par encadrement \dfrac In \dfrac1(n+1)e1
      Donc In \thicksim\dfrac1(n+1)e quand n tend vers +.



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On 18 May 2004, 00:02.