La partie I permet d'établir des résultats utiles pour les
parties II et III.
Les parties II et III sont indépendantes entre elles.
On considére le fonction
définie pour tout réel
positif ou nul par
.
Partie I
Dresser le tableau de variations de
.
Montrer que :
,
l'égalité ayant lieu seulement pour
.
Montrer que, pour tout entier naturel
et pour tout réel
:
En écrivant l'égalité précédente pour
, puis
pour
, montrer que :
Partie II
On considére la suite
définie par son premier
terme
et par la relation :
Montrer que :
Montrer, grâce à la question I 1), que :
Conclure quant à la convergence de la suite
et donner
sa limite.
Simplifier, pour tout
élément de
,
la somme
.
En déduire que la série de terme général
est convergente.
En utilisant la question I 2), montrer que
en
.
Donner enfin la nature de la série de terme général
.
Partie III
On note
la fonction définie sur
par:
et
,
.
Montrer que
est continue sur
.
On considére la fonction réelle
définie par
et
,
.
Vérifier que
est bien définie et continue sur
.
Montrer que
.
En déduire que
est continue en
, dérivable en
puis
donner
.
Montrer que :
.
En déduire que
a une limite finie en
et donner la
valeur de cette limite.
Pour tout réel
strictement positif, calculer
et l'écrire sous la forme
Montrer alors que
Etudier la fonction notée
définie par :
Donner le signe de
, puis les variations de
et enfin celles de
.
Dresser le tableau de variations de
et tracer l'allure de sa
courbe représentative dans un repére orthonormé.
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version 3.59. On 18 May 2004, 00:02.