EDHEC 98
La partie I permet d'établir des résultats utiles pour les parties II et III.
Les parties II et III sont indépendantes entre elles.
On considére le fonction f définie pour tout réel x positif ou nul par f(x)=1- e-x .
Partie I
    1. Dresser le tableau de variations de f.
    2. Montrer que : x\mathbb +       f(x)x        , l'égalité ayant lieu seulement pour x=0.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel n et pour tout réel x:
      e-x = k=0 n (-1 )k xk k! +(-1 )n+1 0 x (x-t )n n! e-t dt

    2. En écrivant l'égalité précédente pour n=2, puis pour n=3, montrer que :
      x +        x2 2 - x3 6 x-f(x) x2 2

Partie II
On considére la suite ( un ) définie par son premier terme u0 =1 et par la relation :
n\mathbb       un+1 =f( un )

    1. Montrer que : n\mathbb       un ]0,1]
    2. Montrer, grâce à la question I 1), que : n\mathbb       un - un+1 0
    3. Conclure quant à la convergence de la suite ( un ) et donner sa limite.
    1. Simplifier, pour tout n élément de \mathbb × , la somme k=0 n-1( uk - uk+1 ).
    2. En déduire que la série de terme général ( un - un+1 ) est convergente.
    3. En utilisant la question I 2), montrer que un - un+1 ~ un 2 2 en +.
    4. Donner enfin la nature de la série de terme général un 2 .
Partie III
  1. On note φ la fonction définie sur \mathbb par: φ(0)=1 et x\mathbb × + ,        φ(x)= f(x) x .
    Montrer que φ est continue sur \mathbb + .
    On considére la fonction réelle g définie par g(0)=1 et x\mathbb × + ,        g(x)= 1 x 0 xφ(t)dt.
    1. Vérifier que g est bien définie et continue sur \mathbb × + .
    2. Montrer que x\mathbb × +       1- x 4 g(x)1- x 4 + x2 18 .
    3. En déduire que g est continue en 0, dérivable en 0 puis donner g' (0).
    1. Montrer que : x]1,+[       1 xφ(t)dtlnx.
    2. En déduire que g a une limite finie en + et donner la valeur de cette limite.
    1. Pour tout réel x strictement positif, calculer g' (x) et l'écrire sous la forme g' (x)= h(x) x2
    2. Montrer alors que xh' (x)=(x+1) e-x -1
    3. Etudier la fonction notée k définie par : x\mathbb +       k(x)=(x+1) e-x -1
    4. Donner le signe de k, puis les variations de g et enfin celles de g.
    5. Dresser le tableau de variations de g et tracer l'allure de sa courbe représentative dans un repére orthonormé.



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On 18 May 2004, 00:02.