Corrigé EDHEC 2003 par Pierre Veuillez
Soit f la fonction définie sur * par f(x)= e1/x x2
    1. f est continue sur + * donc In est impropre en +
      n M f(x)dx= [- e1/x ]n M =- e1/M + e1/n e1/n -1 quand M+.
      Donc In est convergente et In = e1/n -1
    2. Comme 1/n0 et que ex -1\thicksimx en 0 alors In \thicksim 1 n .
  1. On utilise le théorème de comparaison séries/intégrales :
    La série de terme général un =f(n) est donc bien convergente.
    1. Pour établir que l'inégalité sur l'intégrale, on encadre d'abord la fonction.
    2. Sur [k,k+1], comme f est décroisante, on a :
      f(k)f(x)f(k+1) et comme les bornes sont croissantes,
      k k+1 f(k)dx k k+1 f(x)dx k k+1 f(k+1)dx et comme f(k) et f(k+1) sont des constantes,

      f(k+1)\leqslant k k+1 f(x)dx\leqslantf(k).

    3. On vient d'obtenir que :
      uk+1 \leqslant k k+1 f(x)dx\leqslant uk .

      Pour obtenir via Chasles, une intégrale à partir de n, on somme de k=n à ...

      k=n M uk+1 \leqslant k=n M k k+1 f(x)dx\leqslant k=n M uk     donc h=n+1 M+1 uh n M+1 f(x)dx\leqslant k=n+1 M uk + un

      et comme la série et l'intégrale convergent, par passage à la limtie dans l'inégalité on obtient :

      n * ,    k=n+1 + uk \leqslant In \leqslant k=n+1 + uk +\dfrac e 1 n n2

    4. L'équivalent est un problème de limite. on l'obtiendra par encadrement de k=n+1 + uk :

      \dfrac e 1 n n2 + In k=n+1 + uk \leqslant In

      que l'on divise par quoi pour obtenir 1 comme limite par encadrement ?
      Par 1/n l'équivalent de In !

      \dfrac e 1 n n2 1 n + In 1 n k=n+1 + uk 1 n \leqslant In 1 n

      et comme e 1 n n2 1 n = e 1 n n 0, alors par encadrement k=n+1 + uk 1 n 1 et donc
      k=n+1 +\dfrac e 1 k k2 \thicksim 1 n




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On 18 May 2004, 00:02.