Corrigé EDHEC 2003
par Pierre Veuillez
Soit
f
la fonction définie sur
ℝ
*
par
f
(
x
)
=
e
1
/
x
x
2
f
est continue sur
ℝ
+
*
donc
I
n
est impropre en
+
∞
∫
n
M
f
(
x
)
dx
=
[
-
e
1
/
x
]
n
M
=
-
e
1
/
M
+
e
1
/
n
→
e
1
/
n
-
1
quand
M
→
+
∞
.
Donc
I
n
est convergente et
I
n
=
e
1
/
n
-
1
Comme
1
/
n
→
0
et que
e
x
-
1
\thicksim
x
en 0 alors
I
n
\thicksim
1
n
.
On utilise le théorème de comparaison séries/intégrales :
f
es tpositive sur
[
n
,
+
∞
[
Est-elle décroissante ?
f
.
est dérivable sur
ℝ
+
*
et
f
'
(
x
)
=
x
2
-
1
x
2
e
1
/
x
-
2
xe
1
/
x
x
2
=
1
-
2
x
x
2
e
1
/
x
≥
0
sur
[
n
,
+
∞
[
Donc la série
∑
k
≥
n
u
k
et l'intégrale
∫
n
+
∞
f
sont de même nature.
La série de terme général
u
n
=
f
(
n
)
est donc bien convergente.
Pour établir que l'inégalité sur l'intégrale, on encadre d'abord la fonction.
Sur
[
k
,
k
+
1
]
,
comme
f
est décroisante, on a :
f
(
k
)
≥
f
(
x
)
≥
f
(
k
+
1
)
et comme les bornes sont croissantes,
∫
k
k
+
1
f
(
k
)
dx
≥
∫
k
k
+
1
f
(
x
)
dx
≥
∫
k
k
+
1
f
(
k
+
1
)
dx
et comme
f
(
k
)
et
f
(
k
+
1
)
sont des constantes,
f
(
k
+
1
)
\leqslant
∫
k
k
+
1
f
(
x
)
dx
\leqslant
f
(
k
)
.
On vient d'obtenir que :
u
k
+
1
\leqslant
∫
k
k
+
1
f
(
x
)
dx
\leqslant
u
k
.
Pour obtenir via Chasles, une intégrale à partir de
n
, on somme de
k
=
n
à ...
∑
k
=
n
M
u
k
+
1
\leqslant
∑
k
=
n
M
∫
k
k
+
1
f
(
x
)
dx
\leqslant
∑
k
=
n
M
u
k
donc
∑
h
=
n
+
1
M
+
1
u
h
≤
∫
n
M
+
1
f
(
x
)
dx
\leqslant
∑
k
=
n
+
1
M
u
k
+
u
n
et comme la série et l'intégrale convergent, par passage à la limtie dans l'inégalité on obtient :
∀
n
∈
ℕ
*
,
∑
k
=
n
+
1
+
∞
u
k
\leqslant
I
n
\leqslant
∑
k
=
n
+
1
+
∞
u
k
+
\dfrac
e
1
n
n
2
L'équivalent est un problème de limite. on l'obtiendra par encadrement de
∑
k
=
n
+
1
+
∞
u
k
:
\dfrac
e
1
n
n
2
+
I
n
≤
∑
k
=
n
+
1
+
∞
u
k
\leqslant
I
n
que l'on divise par quoi pour obtenir 1 comme limite par encadrement ?
Par
1
/
n
l'équivalent de
I
n
!
\dfrac
e
1
n
n
2
1
n
+
I
n
1
n
≤
∑
k
=
n
+
1
+
∞
u
k
1
n
\leqslant
I
n
1
n
et comme
e
1
n
n
2
1
n
=
e
1
n
n
→
0
,
alors par encadrement
∑
k
=
n
+
1
+
∞
u
k
1
n
→
1
et donc
∑
k
=
n
+
1
+
∞
\dfrac
e
1
k
k
2
\thicksim
1
n
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E
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T
T
M
, version 3.59.
On 18 May 2004, 00:02.