EML 2002
On considère, pour tout
n
∈
\mathbb
ℕ
*
, la fonction polynomiale
P
n
:
[
0
,
+
∞
[
→
\mathbb
ℝ
définie pour tout
x
∈
[
0
,
+
∞
[
, par :
P
n
(
x
)
=
∑
k
=
1
2
n
(
-
1
)
k
x
k
k
=
-
x
+
x
2
2
+
…
+
-
x
2
n
-
1
2
n
-
1
+
x
2
n
2
n
I. Étude des fonctions polynomiales
P
n
Montrer, pour tout
n
∈
\mathbb
ℕ
*
et tout
x
∈
[
0
,
+
∞
[
:
P
n
'
(
x
)
=
x
2
n
-
1
x
+
1
où
P
n
'
désigne la dérivée de
P
n
Établir, pour
n
∈
\mathbb
ℕ
*
, les variations de
P
n
sur
[
0
,
+
∞
[
et dresser le tableau de variations de
P
n
.
Montrer, pour tout
n
∈
\mathbb
ℕ
*
:
P
n
(
1
)
<
0
.
Vérifier, pour tout
n
∈
\mathbb
ℕ
*
et tout
x
∈
[
0
,
+
∞
[
:
P
n
+
1
(
x
)
=
P
n
(
x
)
+
x
2
n
+
1
(
-
1
2
n
+
1
+
x
2
n
+
2
)
En déduire, pour tout
n
∈
\mathbb
ℕ
*
:
P
n
(
2
)
\geqslant
0
.
Montrer que, pour tout
n
∈
\mathbb
ℕ
*
, l'équation
P
n
(
x
)
=
0
, d'inconnue
x
∈
[
1
,
+
∞
[
, admet une solution et une seule notée
x
n
, et que :
1
<
x
n
\leqslant
2
Écrire un programme en langage Pascal qui calcule une valeur approchée décimale de
x
2
à
10
-
3
près.
II. Limite de la suite
(
x
n
)
n
∈
\mathbb
N
*
Établir, pour tout
n
∈
\mathbb
ℕ
*
et tout
x
∈
[
0
,
+
∞
[
:
P
n
(
x
)
=
∫
0
x
t
2
n
-
1
t
+
1
dt
En déduire, pour tout
n
∈
\mathbb
ℕ
*
:
∫
1
x
n
t
2
n
-
1
t
+
1
dt
=
∫
0
1
1
-
t
2
n
t
+
1
dt
Démontrer, pour tout
n
∈
\mathbb
ℕ
*
et tout
t
∈
[
1
,
+
∞
[
:
t
2
n
-
1
\geqslant
n
(
t
2
-
1
)
En déduire, pour tout
n
∈
\mathbb
ℕ
*
:
∫
1
x
n
t
2
n
-
1
t
+
1
dt
\geqslant
n
2
(
x
n
-
1
)
2
,
puis :
0
<
x
n
-
1
\leqslant
2
ln
2
n
Conclure quant à la convergence et à la limite de la suite
(
x
n
)
n
∈
\mathbb
ℕ
*
.
(EML 2002)
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T
M
, version 3.59.
On 18 May 2004, 00:02.