Corrigé EDHEC 2004 par Pierre Veuillez
Le but de cet exercice est de calculer
Pour tout
La fonction
On a
et
Pour comparer les intégrales
et comme (ordre des bornes)
Là encore, on majore le contenu, par une quantité qui ne dépend
pas de
Si
Conclusion :
La suite
Pour écrire
Pour obtenir le
sur
d'où
Conclusion :
On a une majoration. Pour conclure, on cherche l'encadrement :
Et comme
Conclusion :
Pour tout entier naturel
On prouve sa convergence par comparaison :
Comme
Conclusion :
Pour
et par passage à la limite dans l'inégalité, quand
Donc par encadrement
Comme l'intégrale impropre en