EDHEC 2004
Le but de cet exercice est de calculer limn+ 0 + 1 1+t+ tn dt.
Pour tout n de \BbbN, on pose un = 0 1 1 1+t+ tn dt et on a, en particulier, u0 = 0 1 1 2+t dt
  1. Pour tout n de \BbbN, justifier lexistence de un .
  2. Calculer u0 et u1 .
    1. Montrer que la suite ( un ) est croissante.
    2. Montrer que : n\BbbN,   un ln(2)
    3. En déduire que la suite ( un ) est convergente.
    1. Pour tout n de \BbbN, écrire ln(2)- un sous la forme dune intégrale.
    2. En déduire que : n\BbbN ln(2)- un 1 n+1
    3. Donner la limite de la suite ( un )
  3. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose vn = 1 + 1 1+t+ tn dt.
    1. Justifier la convergence de l'intégrale définissant vn .
    2. Montrer que : n2,  0 vn 1 n-1
    3. En déduire limn+ vn , puis donner la valeur de limn+ 0 + 1 1+t+ tn dt.
(EDHEC 2004)



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On 11 Oct 2005, 22:24.