ECRICOME 2004
Soient f la fonction numérique de la variable réelle définie par :
x\BbbR,\Bbb   f(x)= 1 1+ x2

et ( un ) la suite de nombres réels déterminée par :

{ u0 = 0 1 f(x)dx n\Bbb N* ,    un = 0 1 xn f(x)dx

On note Cf la représentation graphique de f, relativement à un repère orthonormal (O, i , j ).

0.1  Etude de f.

  1. Montrer que la fonction f est paire sur \BbbR
  2. Etudier les variations de f sur l'intervalle [0,+[
  3. Déterminer la lmite de f lorsque x tend vers +.
  4. Montrer que f est bornée sur \BbbR
  5. Donner l'allure de Cf
  6. Montrer que f rélaise une bijection de l'intervalle [0,+[ sur un intervalle J à préciser.
  7. Pour tout y de l'intervalle ]0,1], déterminer l'unqiue réel x appartenant à l'intervalle [0,+[tel que :
    f(x)=y

  8. Déterminer alors la bijection réciproqie f-1

0.2  Calcul d'aire

On considère la fonction numérique F de la variable réelle x définie par :
F(x)=ln(x+ x2 +1)

Pour tout réel λ strictement positif, on note A(λ) l'aire (exprimée en unité d'aire) du domaine constitué par l'ensemble des points M(x,y) tels que :
λx2λ    et    0yf(x)

ainsi
A(λ)= λ 2λ f(x)dx

  1. Montrer que :
    x\BbbR,   x+ x2 +1>0

    En déduire l'ensemble de définition de F.
  2. Montrer que F est une primitive de f sur \BbbR
  3. Montrer que F est impaire sur son ensemble de définition.
  4. Déterminer la limite de F lorsque x tend vers +. En déduire la limite de F quand x tend vers -
  5. Exprimer A(λ) en fonction de λ et calculer la limite de A(λ) lorsque λ tend vers +.

0.3  Etude de la suite ( un ).

  1. Calculer u0 et u1 .
  2. Effectuer une intégrationpar parties et calculer u3 .
    (On pourra remarquer que x3 1+ x2 = x2 x 1+ x2 )
  3. Déterminer le sens de variations de la suite ( un ).
  4. Montrer que la suite ( un ) est convergente. (On ne cherchera pas sa limite dans cette question)
  5. Justifier l'encadrement suivant :
    x[0,1],  n\BbbN,\Bbb   0\Bbb xn 1+ x2 xn

    en déduire que :
    n\Bbb N* ,   0 un 1 n+1

  6. Déterminer alors la limite de la suite ( un )



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On 11 Oct 2005, 22:24.