ECRICOME 2002

On consid\ere la famille de fonctions ( f n ) n * d\efinies sur ] 1 , + [ par : f n ( x ) = x n ln ( 1 + x ) .

\Etude des fonctions f n .

Soit n * . On note h n la fonction d\efinie sur ] 1 , + [ par : h n ( x ) = n ln ( 1 + x ) + x 1 + x .

  1. Étudier le sens de variation des fonctions h n .

  2. Calculer h n ( 0 ) , puis en déduire le signe de h n .

  3. Étude du cas particulier n = 1 .

    1. Après avoir justifié la dérivabilité de f 1 sur ] 1 , + [ , exprimer f 1 ( x ) en fonction de h 1 ( x ) .

    2. En déduire les variations de la fonction f 1 sur ] 1 , + [ .

  4. Soit n * { 1 } .

    1. Justifier la dérivabilité de f n sur ] 1 , + [ et exprimer f n ( x ) en fonction de h n ( x ) .

    2. En déduire les variations de f n sur ] 1 , + [ . (On distinguera les cas n pair et n impair). On précisera les limites aux bornes sans étudier les branches infinies.

\Etude d'une suite.

On consid\ere la suite ( U n ) n * d\efinie par : U n = 0 1 f n ( x ) x .

Calcul de U 1 .

  1. Prouver l'existence de trois réels a , b , c tels que : x [ 0 , 1 ] , x 2 x + 1 = a x + b + c x + 1 .

  2. En déduire la valeur de l'intégrale : 0 1 x 2 x + 1 x .

  3. Montrer que U 1 = 1 4 .

Convergence de la suite ( U n ) n * .

  1. Montrer que la suite ( U n ) n * est monotone.

  2. Justifier la convergence de la suite ( U n ) n * . (On ne demande pas sa limite.)

  3. Démontrer que : n * , 0 U n ln 2 n + 1 .

  4. En déduire la limite de la suite ( U n ) n * .

Calcul de U n pour n 2 .

Pour x [ 0 , 1 ] et n * { 1 } , on pose : S n ( x ) = 1 x + x 2 + + ( 1 ) n x n = k = 0 n ( 1 ) k x k .

  1. Montrer que : S n ( x ) = 1 1 + x + ( 1 ) n x n + 1 1 + x .

  2. En déduire que : k = 0 n ( 1 ) k k + 1 = ln 2 + ( 1 ) n 0 1 x n + 1 1 + x x .

  3. En utilisant une intégration par parties dans le calcul de U n , montrer que : U n = ln 2 n + 1 + ( 1 ) n n + 1 [ ln 2 ( 1 1 2 + + ( 1 ) k k + 1 + + ( 1 ) n n + 1 ) ] .