ESCP 2001

  1. On considère la fonction G de deux variables réelles définie, pour tout x et y strictement positifs, par: G ( x , y ) = x 2 2 y 2 ln x + y 3 2

    1. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 et 2 de la fonction G .

    2. Rechercher les extrema éventuels de la fonction G dans le domaine ] 0 , + [ × ] 0 , + [ .

  2. On considère maintenant la fonction f définie, pour tout x strictement positif, par: f ( x ) = G ( x , 1 ) = x 2 2 ln x 1 2

    1. Étudier les variations de f . Montrer que c'est une fonction convexe. Donner sa représentation graphique.

      1. Calculer une primitive de la fonction f sur l'intervalle ] 0 , + [ .

      2. En déduire que l'intégrale 0 1 f ( x ) d x existe et calculer sa valeur.

    2. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On pose S n = 1 n j = 1 n f ( j n ) .

      1. Établir, pour tout entier j vérifiant 1 j < n , les inégalités: 1 n f ( j + 1 n ) j n j + 1 n f ( x ) d x 1 n f ( j n )

      2. En déduire l'encadrement: 1 n 1 f ( x ) d x S n 1 n f ( 1 n ) + 1 n 1 f ( x ) d x

      3. Montrer les inégalités: 0 1 n f ( 1 n ) 0 1 n f ( x ) d x

    3. On considère la suite ( S n ) n 2 définie précédemment. Montrer que cette suite converge et déterminer sa limite.

    4. On rappelle que, pour tout entier naturel non nul, on a l'égalité k = 1 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 .

      1. Exprimer, pour tout entier naturel non nul, la somme en fonction de n .

      2. En déduire la limite: .