ECRICOME 2005

On considère, pour tout entier naturel n , l'application ϕ n définie sur par : x , ϕ n ( x ) = ( 1 x ) n e 2 x ainsi que l'intégrale : I n = 0 1 ϕ n ( x ) x

On se propose de démontrer l'existence de trois réels, a , b , c tels que : I n = a + b n + c n 2 + 1 n 2 ϵ ( n ) avec  lim n + ϵ ( n ) = 0

  1. Calculer I 0 , I 1 .

  2. Etudier la monotonie de la suite ( I n ) n .

  3. Déterminer le signe de I n pour tout entier naturel n

  4. Qu'en déduit-on pour la suite ( I n ) n

  5. Majorer la fonction g : x e 2 x sur [ 0 , 1 ]

  6. En déduire que : n * , 0 I n 1 n + 1

  7. Déterminer la limite de la suite ( I n ) n lorsque n tend vers l'infini.

  8. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que : n , 2 I n + 1 = 1 ( n + 1 ) I n

  9. En déduire la limite de la suite ( n I n ) n lorsque n tend vers l'infini.

  10. Déterminer la limite de la suite ( n ( n I n 1 ) ) n lorsque n tend vers l'infini.

  11. Donner alors les valeurs de a , b , c .