Corrigé EML 1998 par Pierre Veuillez

  1. Soit x [ 0 , 1 [ . ( on a le même résultat sur [-1,1[)

    1. On calcule pur tout n et t 1 1 1 t k = 0 n t k = 1 1 t + t n + 1 1 t 1 = t n + 1 1 t

    2. Or si 0 t x < 1 alors 0 t x > 0 et 1 t 1 x > 0. Et comme la fonction inverse est strictement décroissante sur ] 0 , + [ et que 1 t et 1 x en sont éléments, 1 1 t 1 1 x . D'où comme t 0 , 0 t n + 1 1 t = | t n + 1 1 t | t n + 1 1 x et finalement : | 1 1 t k = 0 n t k |

    3. On reconnaît là l'intégrale de 0 à x de l'inégalité précédente :

      Comme 0 x | 0 x 1 1 t k = 0 n t k t | 0 x | 1 1 t k = 0 n t k | t 0 x t n + 1 1 x t

      Et en primitivant la somme (la dérivée de la somme est la somme des dérivées) | [ ln ( 1 t ) k = 0 n t k + 1 k + 1 ] t = 0 x | [ t n + 2 ( n + 2 ) ( 1 x ) ] t = 0 x | ln ( 1 x ) k = 0 n x k + 1 k + 1 | 1 ( n + 2 ) ( 1 x )

    4. Donc par encadrement (la valeur absolue est positive) la différence tend vers 0 et donc k = 0 n x k + 1 k + 1 tend vers ln ( 1 x ) quand n tend vers + .

      Donc en réindexant par h = k + 1 , la série h 1 x h h converge et a pour somme ln ( 1 x )

      En particulier, pour x = 1 / 2 qui est bien dans l'intervalle [ 0 , 1 [ : n = 1 + 1 n 2 n = ln ( 2 )

    5. On utilise la formule des probabilités totales : En notant N le nombre de lancers pour obtenir le premier p i l e , N ( N = n ) n * u n e loi géométrique de paramètres 1/2 (car le nombre de lancer pour le premier p i l e ne change pas si l'on continue les lancers et qu'ils sont donc indépendants).

      ( N = n ) n * est un système complet d'événements donc la série n 1 p ( G / N = n ) p ( N = n ) converge et la somme de la série est p ( G ) . Comme p ( G / N = n ) = 1 / n car les billets sont équiprobables, p ( G ) = n = 1 + p ( G / N = n ) p ( N = n ) = n = 1 + 1 n ( 1 2 ) n 1 ( 1 2 ) 1 = ln ( 2 )