EML 1998

    1. La fonction logarithme népérien est notée ln .

  1. Soit x [ 1 ; 1 [ .

    1. Montrer, pour tout n de et tout t de [ 1 ; 1 [ : 1 1 t k = 0 n t k = t n + 1 1 t

    2. En déduire, pour tout n de et tout t de [ 1 ; x ] : | 1 1 t k = 0 n t k | | t | n + 1 1 x

    3. Etablir, pour tout n de : | ln ( 1 x ) k = 0 n x k + 1 k + 1 | 1 ( n + 2 ) ( 1 x )

    4. En déduire que la série n 1 x n n converge et a pour somme ln ( 1 x ) .

      En particulier, montrer : n = 1 + 1 n 2 n = ln 2 .

  2. Un joueur lance une pièce équilibrée jusqu'à l'obtention du premier pile. S'il lui a fallu n lancers ( n * ) pour obtenir ce premier pile, on lui fait alors tirer au hasard un billet de loterie parmi n billets dont un seul est gagnant.


    Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?