Corrigé Is016 par Pierre Veuillez

L'objectif est d'étudier la convergence absolue puis la convergence simple de la série k 1 ( 1 ) k + 1 k

  1. Convergence absolue.

    Pour tout entier n 1 , on pose S n = k = 1 n 1 k

    1. On compare : S n + 1 = k = 1 n + 1 1 k k = 1 n 1 k = 1 n + 1 0 donc S n + 1 S n et

      Conclusion :

      La suite S est croissante

    2. Pour tout entier k [ [ 1 , 2 n ] ] : on a k 2 n et donc ( x 1 x est décroissante sur + * ) 1 k 1 2 n

      On a S 2 n S n = k = 1 2 n 1 k k = 1 n 1 k = k = n + 1 2 n 1 k k = n + 1 2 n 1 2 n = n 2 n = 1 2 Conclusion :

      pour tout entier n 1 : S 2 n S n 1 2

    3. Si la suite S est majorée, elle est alors convergente.

      Soit sa limite. On a alors S 2 n et S 2 n S n = 0

      Or S 2 n S n 1 2 ce qui contredit l'assertion précédente.

      Donc, par l'absurde, S n'est pas majorée.

      Elle est donc croissante et non majorée et

      Conclusion :

      S n +

    4. La série k 1 ( 1 ) k + 1 k est donc absolument divergente.

  2. Convergence simple

    Soit, pour tout entier n 1 , u n = k = 1 2 n ( 1 ) k + 1 k et v n = k = 1 2 n + 1 ( 1 ) k + 1 k

    1. On compare : u n + 1 = k = 1 2 ( n + 1 ) ( 1 ) k + 1 k = k = 1 2 n + 2 ( 1 ) k + 1 k donc

      u n + 1 u n = k = 2 n + 1 2 n + 2 ( 1 ) k + 1 k = ( 1 ) 2 n + 2 2 n + 1 + ( 1 ) 2 n + 3 2 n + 2 = ( 1 ) 2 n + 2 ( 1 2 n + 1 1 2 n + 2 ) = 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) 0 Donc la suite u est croissante.

      De la même façon, v n + 1 v n = k = 2 n + 2 2 n + 3 ( 1 ) k + 1 k = ( 1 ) 2 n + 3 2 n + 2 + ( 1 ) 2 n + 4 2 n + 1 = ( 1 ) 2 n + 3 ( 1 2 n + 2 1 2 n + 3 ) = 1 ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 3 ) 0

      et la suite v est décroissante.

      Enfin, v n u n = ( 1 ) n + 1 n + 1 0 par encadrement car 1 n + 1 ( 1 ) n + 1 n + 1 1 n + 1 .

    2. Les suite u et v étant adjacentes, elles sont convergentes et ont même limite.

      Donc les sommes partielles paires et impaires de la série ont même limite et la série converge alors vers cette même limite.

  3. Somme de la série

    On pose pour tout entier n 1 : T n = k = 1 n ( 1 ) k + 1 k et I n = 0 1 ( 1 t ) n ( 1 + t ) n + 1 t

    1. En intégrant par parties, montrer que, pour tout entier n 1 : I n + 1 = 1 n + 1 I n

      On a I n + 1 = 0 1 ( 1 t ) n + 1 ( 1 + t ) n + 2 t on pose

      u ( t ) = ( 1 t ) n + 1 : u ( t ) = ( n + 1 ) ( 1 t ) n et v ( t ) = 1 ( 1 + t ) n + 2 et v ( t ) = 1 n + 1 1 ( 1 + t ) n + 1

      Comme u et v sont de classe C 1 sur [ 0 , 1 ] alors

      I n + 1 = [ 1 n + 1 ( 1 t ) n + 1 ( 1 + t ) n + 1 ] 0 1 0 1 ( n + 1 ) ( 1 t ) n 1 n + 1 1 ( 1 + t ) n + 1 t = 1 n + 1 0 1 ( 1 t ) n ( 1 + t ) n + 1 t = 1 n + 1 I n

    2. On a I 0 = 0 1 1 1 + t t = [ ln ( 1 + t ) ] 0 1 = ln ( 2 ) donc I 1 = 1 1 + 0 I 0 = 1 ln ( 2 )

    3. En déduire que, pour tout entier n : T n = ln ( 2 ) + ( 1 ) n + 1 I n

      Par récurrence :

      • Pour n = 1 : ln ( 2 ) + ( 1 ) 2 I 1 = 1 et T 1 = k = 1 1 ( 1 ) k + 1 k = ( 1 ) 2 1 = 1

        d'où l'égalité.

      • Soit n 1 tel que T n = ln ( 2 ) + ( 1 ) n + 1 I n alors

        T n + 1 = k = 1 n + 1 ( 1 ) k + 1 k = k = 1 n ( 1 ) k + 1 k + ( 1 ) n + 2 n + 1 = T n + ( 1 ) n + 2 n + 1 = ln ( 2 ) + ( 1 ) n + 1 I n + ( 1 ) n + 2 n + 1 = ln ( 2 ) + ( 1 ) n + 2 ( I n + 1 n + 1 ) = ln ( 2 ) + ( 1 ) n + 2 I n + 1

      • Donc, par récurrence, pour tout entier n 1 , T n = ln ( 2 ) + ( 1 ) n + 1 I n

    4. Pour tout t [ 0 , 1 ] , on a t 0 donc 1 t + 1 1 = t t + 1 0 et 1 t + 1 1

      On encadre alors le contenu de I n : 0 1 ( 1 + t ) n + 1 1 et comme ( 1 t ) n 0
      alors 0 ( 1 t ) n ( 1 + t ) n + 1 ( 1 t ) n

      Et comme 0 1 (ordre des bornes) alors 0 0 1 ( 1 t ) n ( 1 + t ) n + 1 t 0 1 ( 1 t ) n t  donc  0 I n [ ( 1 t ) n + 1 n + 1 ] 0 1 = 1 n + 1

      Conclusion :

      0 I n 1 n + 1

    5. On a alors par encadrement, I n 0 et ( 1 ) n + 1 I n 0 donc T n = ln ( 2 ) + ( 1 ) n + 1 I n ln ( 2 )

      Donc la somme de la série k 0 ( 1 ) k + 1 k est ln ( 2 ) .