Is016

L'objectif de l'exercice est d'étudier la convergence absolue puis la convergence simple de la série k 1 ( 1 ) k + 1 k

  1. Convergence absolue.

    Pour tout entier n 1 , on pose S n = k = 1 n 1 k

    1. Montrer que la suite S est croissante

    2. Montrer que pour tout entier k [ [ 1 , 2 n ] ] : 1 k 1 2 n

      En déduire que pour tout entier n 1 : S 2 n S n 1 2

    3. Montrer, en raisonnant par l'absurde, que S n ne peut pas être majorée et en déduire sa limite.

    4. La série k 1 ( 1 ) k + 1 k est elle absolument convergente ?

  2. Convergence simple

    Soit, pour tout entier n 1 , u n = k = 1 2 n ( 1 ) k + 1 k et v n = k = 1 2 n + 1 ( 1 ) k + 1 k

    1. Montrer que la suite u est croissante, que la suite v est décroissante et déterminer la limite de v n u n quand n tend vers + .

    2. En déduire les convergence des suites u , v et de la série k 0 ( 1 ) k + 1 k

  3. Somme de la série

    On pose pour tout entier n 1 : T n = k = 1 n ( 1 ) k + 1 k et I n = 0 1 ( 1 t ) n ( 1 + t ) n + 1 t

    1. En intégrant par parties, montrer que, pour tout entier n 1 : I n + 1 = 1 n + 1 I n

    2. Calculer I 0 et en déduire I 1

    3. En déduire que, pour tout entier n 1 : T n = ln ( 2 ) + ( 1 ) n + 1 I n

    4. Montrer que pour tout t [ 0 , 1 ] , 1 t + 1 1 et en déduire que 0 I n 1 n + 1

    5. En déduire la somme de la série k 0 ( 1 ) k + 1 k