HEC 2000

  1. Montrer que, pour tout nombre réel x > 0 et tout entier naturel k , l'intégrale 1 t k e x t 1 + t 5 t est convergente. Pour quelles valeurs de l'entier k cette intégrale est-elle aussi convergente pour x = 0 ?
  2. On se propose d'étudier la fonction F définie, pour x 0 , par F ( x ) = 1 e x t 1 + t 5 t . Montrer que F est une fonction strictement positive, décroissante et que lim x + F ( x ) = 0
    1. Montrer que, pour tout réel t 0 , tout réel x 0 et tout réel h 0 , on a: | e t ( x + h ) e t x + t h e t x | t 2 h 2 2 e t x
    2. Montrer de même que, pour tout réel t 0 , tout réel x 0 et tout réel h 0 , on a: | e t ( x + h ) e t x + t h e t x | t 2 h 2 2 e t ( x + h )
    3. En déduire que pour tout réel x 0 et tout réel h tel que x + h 0 , on a: | F ( x + h ) F ( x ) + h 1 t e x t 1 + t 5 t | h 2 2 1 t 2 1 + t 5 t
    4. Montrer enfin que la fonction F est dérivable sur [ 0 , + [ et donner une expression de sa fonction dérivée F .
  3. Montrer de même que F est dérivable sur [ 0 , + [ et que F " ( x ) = 1 t 2 e x t 1 + t 5 t
  4. On se propose de montrer que la fonction ln ( F ) est convexe.
    1. Montrer que si a , b et c sont trois nombres réels tels que, pour tout réel λ , on ait l'inégalité: a λ 2 + 2 b λ + c 0 , alors, nécessairement, a c b 2 0.
    2. En déduire que la fonction ln ( F ) est une fonction convexe.