Corrig\e par Pierre Veuillez

  1. a = 5 / 8 et donc A = ( 5 / 8 3 / 8 3 / 8 5 / 8 )

    1. On a P 2 = ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 ) = ( 0 2 2 0 ) p 4 = ( P 2 ) 2 = ( 0 2 2 0 ) ( 0 2 2 0 ) = ( 4 0 0 4 ) = 4 I . :

      Donc P ( 1 4 P ) = I et ( 1 4 P ) P = I . Donc P est inversible et sont inverse est P 1 = 1 4 P 3 = 1 4 P P 2 = 1 4 ( 1 1 1 1 ) ( 0 2 2 0 ) = 1 4 ( 2 2 2 2 ) = 1 2 ( 1 1 1 1 )

      avec

    2. On a D = P 1 . A . P = 1 2 ( 1 1 1 1 ) ( 5 / 8 3 / 8 3 / 8 5 / 8 ) ( 1 1 1 1 ) = 1 2 ( 1 1 1 1 ) ( 2 / 8 8 / 8 2 / 8 8 / 8 ) = 1 2 ( 1 1 1 1 ) ( 1 / 4 1 1 / 4 1 ) = 1 2 ( 1 / 2 0 0 1 ) = ( 1 / 4 0 0 1 ) = D  est bien diagonale.

  2. Avec A = ( a 1 a 1 a a ) on a D a = P 1 . A . P = 1 2 ( 1 1 1 1 ) ( a 1 a 1 a a ) ( 1 1 1 1 ) = 1 2 ( 1 1 1 1 ) ( 2 a 1 1 1 2 a 1 ) = 1 2 ( 4 a 2 0 0 2 ) = ( 2 a 1 0 0 1 )  qui est bien diagonale.

  3. Soit Y = P 1 . Z . P .

    1. Comme P est inversible, Z 2 = A P 1 Z 2 = P 1 A P 1 Z 2 P = P 1 A P P 1 Z P P 1 Z P = P 1 A P Y 2 = D a

    2. Soit Y = ( x y z t )

      1. ( 2 ) ( x y z t ) ( x y z t ) = ( 2 a 1 0 0 1 ) ( x 2 + y z x y + y t z x + t z y z + t 2 ) = ( 2 a 1 0 0 1 ) { x 2 + y z = 2 a 1 z x + t z = 0 x y + y t = 0 y z + t 2 = 1 { x 2 + y z = 2 a 1 z ( x + t ) = 0 y ( x + t ) = 0 y z + t 2 = 1

      2. On raisonne par l'absurde: si x + t = 0 .

        ( 2 ) { x 2 + y z = 2 a 1 y z + t 2 = 1  et comme  x = t { x 2 + y z = 2 a 1 y z + x 2 = 1 alors  2 a 1 = 1  et  a = 1 Or 0 < a < 1 donc x + t = 0 est imposssible. Donc x + t 0

      3. Comme x + t 0 , ( 2 ) { x 2 + y z = 2 a 1 z = 0 y = 0 y z + t 2 = 1 { x 2 = 2 a 1 z = 0 y = 0 t 2 = 1

        • Si 2 a 1 < 0 i.e. a < 1 / 2 , il n'y a pas de solution.

        • si 2 a 1 = 0 i.e. a = 1 / 2 il y a deux solutions: ( x , y , z , t ) = ( 0 , 0 , 0 , 1 ) et ( 0 , 0 , 0 , 1 )

        • et si a > 1 / 2 , i ly a 4 solutions ( x , y , z , t ) = ( 2 a 1 , 0 , 0 , 1 ) , ( 2 a 1 , 0 , 0 , 1 ) , ( 2 a 1 , 0 , 0 , 1 ) et enfin ( 2 a 1 , 0 , 0 , 1 )

    3. Comme Y = P 1 . Z . P Z = P . Y . P 1 , à des valeurs différentes de Y correspondront des valeurs distinctes de Z . Et comme Y solution de ( 2 ) Z solution de ( 1 ) , il y aura 0, 2 ou 4 solutions à ( 1 ) suivant que a < 1 / 2 , a = 1 / 2 ou a > 1 / 2 .

    4. Avec a = 5 / 8 > 1 / 2 on a 2 a 1 = 1 / 2 et les solutions sont avec x = ± 1 / 2 et t = ± 1

      Z = P . Y . P 1 = 1 2 ( 1 1 1 1 ) ( x 0 0 t ) ( 1 1 1 1 ) = 1 2 ( 1 1 1 1 ) ( x x t t ) = 1 2 ( x + t x + t x + t x + t )

      Soit Z = 1 2 ( 3 / 2 1 / 2 1 / 2 3 / 2 ) ou 1 2 ( 1 / 2 3 / 2 3 / 2 1 / 2 ) ou 1 2 ( 3 / 2 1 / 2 1 / 2 3 / 2 ) ou 1 2 ( 1 / 2 3 / 2 3 / 2 1 / 2 )