Résolution dans l'ensemble des matrice carrées de taille 2 de l'équation Z 2 = A

Z est la matrice inconnue et A une matrice donnée de la forme

A = ( a 1 a 1 a a ) avec 0 < a < 1 .

  1. Dans cette question, on suppose que a = 5 / 8 et donc A = ( 5 / 8 3 / 8 3 / 8 5 / 8 )

    1. Soit P = ( 1 1 1 1 ) . Calculer P 2 puis P 4 .Montrer que P est inversible et trouver sa matrice inverse.

    2. Montrer que la matrice D = P 1 . A . P est diagonale et donner sa valeur.

  2. On se place désormais dans le cas général où A = ( a 1 a 1 a a ) avec 0 < a < 1 .

    Montrer que la matrice D a = P 1 . A . P (où P est la matrice précédente) est diagonale .

  3. Soit Y = P 1 . Z . P .

    1. Montrer que l'équation ( ) équivaut à Y 2 = D a

    2. On cherche à résoudre l'équation ( ) en prenant Y sous la forme générale: Y = ( x y z t )

      1. Ecrire le système de quatre équations a ` quatre inconnues x , y , z et t qui est équivalent a ` l'équation ( )

      2. Montrer (par l'absurde) qu'aucune solution de ( ) ne vérifie x + t = 0 .

      3. Résoudre ce sytème et donner toutes les solutions de l'équation ( ) (on dicutera suivant la valeur de a , 0 < a < 1 ) .

    3. En déduire que l'équation ( ) admet respectivement 0, 2 ou 4 solutions suivant que:

      1. a < 1 / 2 , a = 1 / 2 ou a > 1 / 2 .

    4. Donner les quatre solutions de l'équation dans le cas où a = 5 / 8 .