(ESCP 98)

Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

    1. Etudier, suivant la parité de n , le tableau de variations de la fonction f définie sur par f ( x ) = x n + 1 + x n .

    2. Montrer que dans tous les cas f ( n n + 1 ) < 2 .

    3. Calculer f ( 1 ) et en déduire, suivant la parité de n , le nombre de solutions de l'équation d'inconnue x :    x n + 1 + x n = 2 .

  1. On note A la matrice ( 1 1 1 1 ) et D = ( 0 0 0 2 )

    1. Déterminer la matrice P de la forme ( 1 1 x y ) telle que: A P = P D

    2. Montrer que P est inversible et en déduire que A = P D P 1 et D = P 1 A P

  2. On considère l'équation matricielle d'inconnue X matrice carrée de taille 2 : ( E n ) X n + 1 + X n = A

    1. Montrer que la résolution de cette équation peut se ramener à la résolution de l'équation d'inconnue Y matrice carrée de taille 2 : ( E n ) Y n + 1 + Y n = D

    2. Soit Y une solution de ( E n ) . On pose Y = ( a b c d )

      1. Montrer que D Y = Y D .

      2. En déduire que b = c = 0 .

      3. Quelle sont les valeurs possibles de a ?

      4. Discuter suivant les valeurs de n , le nombre de solutions de l'équation ( E n ) .

    3. On note α la solution négative de l'équation numérique x 4 + x 3 = 2 .

      Déterminer les solutions de l'équation ( E 3 ) à l'aide de α .

(ESCP 98)