(ESLSCA-ISC 1999)

Soient A = ( 1 0 1 1 2 1 2 2 3 ) et P = ( 1 2 1 1 1 1 0 2 2 )

    1. Montrer que P est inversible et calculer son inverse.

    2. Montrer que A = P 1 A P = ( 1 0 0 0 2 0 0 0 3 )

    1. Soit M une matrice carrée d'ordre 3 à coefficients réels commutant avec A , c'est à dire telle que A M = M A .

      On pose M = P 1 M P . Montrer que A M = M A .

      Réciproquement, montrer que si M commute avec A alors la matrice M définie par M = P M P 1 commute avec A .

    2. Déterminer l'ensemble des matrices commutant avec A . (On écrira ces matrices avec des coefficients indéterminés)

    3. En déduire la forme générale des matrice commutant avec A .

(ES LSCA-ISC 1999)