Corrigé (EML 2000) par Pierre Veuillez
On considère une matrice carrée d'ordre 3 :

J = ( 0 2 1 0 1 2 0 1 0 ) ,

et l'endomorphisme f de 3 de matrice J dans la base canonique de 3 . On considère, pour tout nombre réel a , la matrice carrée réelle d'ordre 3 :

M a = ( a 2 1 0 a 1 2 0 1 a ) .

    1. ( J α I ) ( x y z ) = 0 { α x + 2 y + z = 0 ( α 1 ) y + 2 z = 0 L 2 ( α 1 ) L 3 y + ( α ) z = 0

      ( 1 ) { α x + 2 y + z = 0 [ 2 + α ( α 1 ) ] z = 0 y α z = 0

      avec [ 2 + α ( α 1 ) ] = α 2 α + 2 qui a pour racines α = 1 et α = 2 donc

      • si α 1 et α 2
        ( 1 ) ( 2 ) { α x = 0 z = 0 y = 0

        • et si de plus α 0 alors
          ( 2 ) x = y = z = 0 et α n'est pas valeur propre.

        • Si, par contre, α = 0 alors

          ( 2 ) { x z = 0 y = 0 et donc 0 est valeur propre associé au sous espace propre V e c t ( ( 1 , 0 , 0 ) )

      • Si α = 1 alors ( 1 ) { x = 3 z y = z
        Donc α = 1 est bien valeur propre associé au sous espace propre E 1 = V e c t ( ( 3 , 1 , 1 ) )

      • Si α = 2 alors { x = 3 2 z y = 2 z
        Donc α = 2 est valeur propre associé au sous espace propre E 2 = V e c t ( ( 3 / 2 , 2 , 1 ) )

    2. J qui a trois valeurs propres distinctes et est donc diagonalisable

      avec ( ( 1 , 0 , 0 ) , ( 3 , 1 , 1 ) , ( 3 / 2 , 2 , 1 ) ) base de vecteurs propres.

      Donc avec P = ( 1 3 3 / 2 0 1 2 0 1 1 ) et D = ( 0 0 0 0 1 0 0 0 2 ) on a J = P D P 1 .

    3. Et comme M a = J + a I on a alors M a = P ( D + a I ) P 1 avec D a = D + a I qui est bien diagonale.

    4. M a est inversible si et seulement si ( D + a I ) l'est.

      Conclusion :

      M a inversible pour a différent de 0, -1 et 2

  1. On se propose, dans cette question, de déterminer l'ensemble des nombres réels a tels qu'il existe une matrice carrée réelle d'ordre trois vérifiant X 2 = M a .

    1. Soient a un nombre réel et X une matrice carrée réelle d'ordre trois tels que X 2 = M a

      1. On a X M a = X 3 = M a X donc X commute avec M a .

        Et comme J = M a a I et que X I = X = I X alors X commute avec J également.

      2. C'est la question délicate :

        Soit u un vecteur propre de f associé à la valeur propre α et U la colonne de ses coordonnées dans la base canonique.

        On a alors J U = α U

        Que dire sur X U qui fasse intervenir la commutation des matrices ?

        Soit V = X U . On a J ( X U ) = ( J X ) U = X ( J U ) = X ( α U ) = α ( X U )

        Donc

        • si X U n'est pas nul alors X U est vecteur propre de J associé à la valeur propre α et donc X U V e c t ( U ) (car chaque sous-espace propre est de dimension1 ici) et il existe β réel tel que X U = β U .

          Donc U est vecteur propre de X

        • Si X U = 0 alors U est également vecteur propre de X associé à la valeur propre 0.

        Conclusion :

        Si u est vecteur propre de f , il est également vecteur propre de h .

      3. Donc la base de vecteurs propres précédente est également base de vecteurs propres de X .

        Donc il existe une matrice réelle diagonale Δ d'ordre trois telle que X = P Δ P 1 .

        Et comme X 2 = P Δ 2 P 1 = M a = P D a P 1 d'où Δ 2 = D a .

      4. Comme Δ = ( x 0 0 0 y 0 0 0 z ) est diagonale, alors Δ 2 = ( x 2 0 0 0 y 2 0 0 0 z 2 ) et tous ses termes diagonaux sont positifs ou nuls.

        Donc ceux de D a également et 2 + a 0 d'où : a 2.

    2. Réciproquement, pour tout nombre réel a supérieur ou égal à 2, alors a , 1 + a et 2 + a sont positifs.

      Soit alors Δ = ( a 0 0 0 1 + a 0 0 0 2 + a ) alors Δ 2 = D a et avec X = P Δ P 1 on a : X 2 = P Δ 2 P 1 = M a

    3. Conclusion :

      l'équation X 2 = M a a une solution si et seulement si a 2

    (EML 2000)