(EML 2000)

On considère une matrice carrée d'ordre 3 :

J = ( 0 2 1 0 1 2 0 1 0 )

et l'endomorphisme f de 3 de matrice J dans la base canonique de 3 . On considère, pour tout nombre réel a , la matrice carrée réelle d'ordre 3 :

M a = ( a 2 1 0 a 1 2 0 1 a ) .

    1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f .

    2. Montrer que J est diagonalisable. Déterminer une matrice réelle diagonale D d'ordre trois et une matrice réelle inversible P d'ordre trois telles que J = P D P 1

    3. En déduire que, pour tout nombre réel a , il existe une matrice réelle diagonale D a d'ordre trois, que l'on calculera, telle que M a = P D a P 1 .

    4. Quel est l'ensemble des nombres réels a tels que M a soit inversible ?

  1. On se propose, dans cette question, de déterminer l'ensemble des nombres réels a tels qu'il existe une matrice carrée réelle d'ordre trois vérifiant X 2 = M a .

    1. Soient a un nombre réel et X une matrice carrée réelle d'ordre trois tels que X 2 = M a

      1. Montrer que X commute avec M a , puis que X commute avec J .

      2. On note h l'endomorphisme de 3 de matrice X dans la base canonique de 3 . Déduire de la question précédente que tout vecteur propre de f est vecteur propre de h .

      3. Etablir qu'il existe une matrice réelle diagonale Δ d'ordre trois telle que X = P Δ P 1 et montrer : Δ 2 = D a .

      4. En déduire : a 2.

    2. Réciproquement, montrer que, pour tout nombre réel a supérieur ou égal à 2, il existe une matrice carrée réelle X d'ordre trois telle que X 2 = M a .

    3. Conclure.

    (EML 2000)