EML 2004
On note M3 (\BbbR) l'espace vectoriel réel des matrices carrées d'ordre trois à éléments réels, I la matrice identité de M3 (\BbbR), 0 la matrice nulle de M3 (\BbbR).
On considère, pour toute matrice A de M3 (\BbbR), les ensembles E1 (A) et E2 (A) suivants :
E1 (A) = {M M3 (\BbbR);AM=M} E2 (A) = {M M3 (\BbbR); A2 M=AM}

Partie I
  1. Montrer que E1 (A) est un sous-espace vectoriel de M3 (\BbbR)
    On admettra que E2 (A) est aussi un sous-espace vectoriel de M3 (\BbbR)
    1. Établir :    E1 (A) E2 (A)
    2. Montrer que, si A est inversible, alors E1 (A)= E2 (A)
    1. Établir que, si A-I est inversible, alors E1 (A)={0}
    2. Un exemple : Soit B=( -110 0-11 002 ). Déterminer E1 (B) et E2 (B)
Partie II
On considère la matrice C=( 3-2-1 10-1 2-20 )
  1. Calculer les valeurs propres et les sous-espaces propres de C.
  2. En déduire une matrice diagonale D, dont les termes diagonaux sont dans l'ordre croissant, et une matrice inversible P, dont les éléments de la première ligne sont égaux à 1, telles que C=PD P-1 .
  3. Soit M M3 (\BbbR). On note N= P-1 M.
    Montrer :       M E1 (C)N E1 (D).
  4. Montrer que N E1 (D) si et seulement s'il existe trois réels a,b,c tels que N=( 000 abc 000 ).
  5. En déduire l'expression générale des matrices de E1 (C) et déterminer une base et la dimension de E1 (C).
  6. Donner l'expression générale des matrices de E2 (C) et déterminer une base et la dimension de E2 (C).
    Est-ce que E1 (C)= E2 (C) ?



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On 11 Oct 2005, 22:24.