On note
l'espace vectoriel réel
des matrices carrées d'ordre trois à éléments réels,
la matrice identité de
la
matrice nulle de
.
On considère, pour toute matrice
de
, les ensembles
et
suivants :
Partie I
Montrer que
est un sous-espace vectoriel de
On admettra que
est aussi un sous-espace vectoriel
de
Établir :
Montrer que, si
est inversible, alors
Établir que, si
est inversible, alors
Un exemple : Soit
Déterminer
et
Partie II
On considère la matrice
Calculer les valeurs propres et les sous-espaces propres de
.
En déduire une matrice diagonale
, dont les termes diagonaux
sont dans l'ordre croissant, et une matrice inversible
, dont les
éléments de la première ligne sont égaux à 1, telles que
.
Soit
. On note
Montrer :
.
Montrer que
si et seulement s'il existe
trois réels
tels que
.
En déduire l'expression générale des matrices de
et déterminer une base et la dimension de
.
Donner l'expression générale des matrices de
et déterminer une base et la dimension de
.
Est-ce que
?
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