Corrig\e ECRICOME 94 par Pierre Veuillez

  1. A 2 = ( 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ) ( 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ) = ( 7 2 2 2 2 7 2 2 2 2 7 2 2 2 2 7 )

  2. 2 A + 3 I = ( 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 ) + ( 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 ) = A 2 donc α = 2 et β = 3 conviennent.

  3. Pour n = 0 on a A 0 = I = 0 A + 1 I donc α n + 1 = 2 α n + β n et β n + 1 = 3 α n conviennent.

    Donc par récurrence que c α 0 = 0 et β 0 = 1 conviennent.

    Soit n 0 et α n et β n des réels tels que A n = α n A + β n I , alors

    A n + 1 = A n A = ( α n A + β n I ) A = α n A 2 + β n A = α n ( 2 A + 3 I ) + β n A = ( 2 α n + β n ) A + 3 α n I

    Donc α n + 1 = 2 α n + β n et β n + 1 = 3 α n conviennent.

    Donc par récurrence que pour tout entier n il existe des réels α n et β n tels que A n = α n A + β n I

    avec α n + 1 = 2 α n + β n et β n + 1 = 3 α n

    1. Or pour tout n , α n + 2 = 2 α n + 1 + β n + 1 = 2 α n + 1 + 3 α n

      Donc ( α n ) n est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 à coefficients constants.

      Son équation caractéristique est : r 2 2 r 3 = 0 qui a pour racines -1 et 3

      Donc pour tout entier n , α n = x ( 1 ) n + y 3 n avec x et y qui vérifient :

      { α 0 = x ( 1 ) 0 + y 3 0 α 1 = x ( 1 ) 1 + y 3 1 { 0 = x + y 1 = x + 3 y { 1 = 4 y x = 3 y 1 { y = 1 / 4 x = 1 / 4

      Donc pour tout entier n , α n = ( 3 n ( 1 ) n ) / 4

    2. β n = 3 α n 1 = 3 ( ( 1 ) n 1 + 3 n 1 ) / 4 = ( 3 ( 1 ) n + 3 n ) / 4 pour n 1 et pour n = 0 également.

    1. Comme A 2 = 2 A + 3 I , alors I = ( A 2 2 A ) / 3 = A ( A 2 I ) / 3 = 1 3 ( A 2 I ) A donc A est inversible et son inverse est A 1 = 1 3 ( A 2 I )

    2. On aurait α 1 = ( 3 1 ( 1 ) 1 ) / 4 = ( 1 / 3 + 1 ) / 4 = 1 / 3

      et β 1 = ( 3 ( 1 ) 1 + 3 1 ) / 4 = ( 3 + 1 / 3 ) / 4 = 2 / 3 ce qui correspond aux coeffcients trouvés.

      Donc les expressions sont encore valables pour n = 1.

    3. On montre que pour tout entier n , A n = a n A + b n I ( a n et b n réels)

      Pour n = 0 , A 0 = I = 0 A + 1 I donc a 0 = 0 et b 0 = 1 conviennent.

      Soit n tel que A n = a n A + b n I alors A n 1 = A 1 A n = A 1 ( a n A + b n I ) = a n I + b n A 1 = a n I + 1 3 b n ( A 2 I ) = ( a n 2 3 b n ) I + 1 3 b n A

      Donc avec a n + 1 = 1 3 b n et b n + 1 = a n 2 3 b n (réels) on a bien A n 1 = a n + 1 A + b n + 1 I

      Et pour tout entier n , A n = a n A + b n I ( a n et b n réels)

      Or b n + 2 = a n + 1 2 3 b n + 1 = 1 3 b n 2 3 b n + 1

      donc b est une suite récurrente linéraire d'ordre 2 à coefficients constants.

      Son équation caractéristique est 3 r 2 + 2 r 1 = 0 de racines -1 et 1/3

      Donc pour tout entier n , b n = x ( 1 ) n + y / 3 n avec x et y qui vérifient :

      b 1 = a 0 2 3 b 0 = 2 / 3

      { b 0 = x ( 1 ) 0 + y / 3 0 b 1 = x ( 1 ) 1 + y / 3 1 { 1 = x + y 2 / 3 = x + y / 3 L 2 + L 1 { x = 1 y 1 3 = 4 3 y { x = 3 / 4 y = 1 / 4

      Donc pour tout entier n , b n = ( 1 / 3 n + 3 ( 1 ) n ) / 4 ( ce qui est β n )

      et a n = 1 3 b n 1 = 1 3 ( 1 / 3 n 1 + 3 ( 1 ) n 1 ) / 4 = ( 3 n ( 1 ) n ) / 4 = α n

      Et on trouve les mêmes résultats que précédemment.

(ECRICOME 94)