Soit A = ( 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ) et I la matrice unité de taille 4.

  1. Calculer A 2

  2. Montrer qu'il existe deux réels α et β tels que A 2 = α A + β I

  3. Etablir par récurrence que pour tout entier n il existe des réels α n et β n tels que A n = α n A + β n I

    On exprimera α n + 1 et β n + 1 en fonction de α n et β n

    1. Montrer que la suite ( α n ) n est récurrente linéaire d'ordre 2 et déterminer l'expression de α n en fonction de n .

    2. En déduire celle de β n .

    1. Prouver que A est inversible et exprimer son inverse en fonction de A et de I .

    2. Les expressions de α n et β n sont-elles encore valables pour n = 1 ?

    3. Déterminer pour tout entier n , la valeur de A n (tous ses coefficients)

(d'après ECRICOME 94)