Corrigé par Pierre Veuillez

    1. A 2 = ( 3 0 0 1 2 1 1 1 2 ) ( 3 0 0 1 2 1 1 1 2 ) = ( 9 0 0 4 5 4 4 4 5 )

      A 2 4 A + 3 I = ( 9 0 0 4 5 4 4 4 5 ) 4 ( 3 0 0 1 2 1 1 1 2 ) + ( 3 0 0 0 3 0 0 0 3 ) = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) = 0

    2. Donc A 2 + 4 A = 3 I et I = 1 3 ( A 2 + 4 A ) = A ( 1 3 A + 4 3 I ) = ( 1 3 A + 4 3 I ) A

      Donc A est inversible et A 1 = 1 3 A + 4 3 I = 1 3 ( 1 0 0 1 2 1 1 1 2 )

  1. Pour n = 0 , A 0 = I = 0 A + 1 I donc a 0 = 0 et b 0 = 1 conviennent.

    Soit n tel que A n = a n A + b n I . avec a n et b n des réels alors,

    A n + 1 = A n A = ( a n A + b n I ) A = a n A 2 + b n A = a n ( 4 A 3 I ) + b n A = ( 4 a n + b n ) A 3 a n I

    Donc avec a n + 1 = 4 a n + b n et b n + 1 = 3 a n (réels) on a bien : A n + 1 = a n + 1 A b n + 1 I

    Donc la propriété est varie pour tout entier n.

    1. a n + 2 = 4 a n + 1 + b n = 4 a n + 1 3 a n donc a n + 2 4 a n + 1 + 3 a n = 0

    2. La suite ( a n ) n est donc récurrente linéaire d'ordre deux à coefficients constants. Son équation caractéristique est : ( E c ) r 2 4 r + 3 = 0 qui a pour racines 1 et 3.

      Donc pour tout entier n , a n = x .1 n + y .3 n avec x et y qui vérifient :

      { a 0 = x + y a 1 = x + 3 y { 0 = x + y 1 = x + 3 y { x = y 1 = 2 y { x = 1 / 2 y = 1 / 2

      Donc pour tout entier n : { a n = 1 + 3 n 2 b n = a n + 1 4 a n = 3 3 n 2

    3. Donc A n = 1 + 3 n 2 A + 3 3 n 2 I = 1 + 3 n 2 ( 3 0 0 1 2 1 1 1 2 ) + 3 3 n 2 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) = 1 2 ( 2.3 n 0 0 1 + 3 n 1 + 3 n 1 3 n 1 + 3 n 1 3 n 1 + 3 n )