Soit A = ( 3 0 0 1 2 1 1 1 2 ) et I la matrice unité de taille 3.

    1. Calculer A 2 4 A + 3 I

    2. En déduire que A est inversible et calculer son inverse.

  1. Montrer que pour tout entier n , il existe des réels a n et b n tels que A n = a n A + b n I .

    1. Montrer que, pour tout entier n , a n + 2 4 a n + 1 + 3 a n = 0

    2. En déduire la valeur de a n puis de b n en fonction de n .

    3. Donner l'expression de A n en fonction de n .