-
N
2
=
0
,
donc pour tout
n
≥
2
,
N
n
=
0
,
N
0
=
I
et
N
1
=
N
.
-
Or
B
=
D
+
N
et comme
D
⋅
N
=
N
⋅
D
,
on peut appliquer la formule du binôme :
B
n
=
(
D
+
N
)
n
=
∑
k
=
0
n
C
k
⁢
N
k
⁢
D
n
−
k
et comme
N
k
=
0
pour tout
k
≥
2
,
B
n
=
∑
k
=
0
1
C
n
k
⁢
N
k
⁢
D
n
−
k
+
∑
k
=
2
n
C
n
k
⁢
N
k
⁢
D
n
−
k
=
C
n
0
⁢
N
0
⁢
D
n
−
0
+
C
n
1
⁢
N
1
⁢
D
n
−
1
+
0
=
D
n
+
n
⋅
N
⋅
D
n
−
1
Et comme
D
est diagonale, on en connait les puissances. Donc
B
n
=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
(
−
1
)
⁢
n
)
+
n
.
(
0
1
0
0
0
0
0
0
0
)
⋅
(
1
0
0
0
1
0
0
0
(
−
1
)
⁢
n
−
1
)
=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
(
−
1
)
⁢
n
)
+
n
⋅
(
0
1
0
0
0
0
0
0
0
)
et
B
n
=
(
1
n
0
0
1
0
0
0
(
−
1
)
⁢
n
)
-
Finalement
V
n
=
(
u
n
+
2
u
⁢
n
+
1
u
⁢
n
)
=
A
n
⋅
V
0
=
P
⋅
B
n
⋅
P
−
1
⋅
V
0
=
P
⋅
B
n
⋅
1
4
⁢
(
1
2
1
2
0
−
2
1
−
2
1
)
⁢
(
−
1
1
0
)
V
n
=
1
4
⁢
P
⋅
(
1
n
0
0
1
0
0
0
(
−
1
)
⁢
n
)
⋅
(
1
−
2
−
3
)
=
1
4
⁢
(
1
1
1
1
0
−
1
1
−
1
1
)
⋅
(
1
−
2
⁢
n
−
2
−
3
⁢
(
−
1
)
⁢
n
)
=
1
4
⁢
(
−
1
−
2
⁢
n
−
3
⁢
(
−
1
)
⁢
n
1
−
2
⁢
n
+
3
⁢
(
−
1
)
⁢
n
3
−
2
⁢
n
−
3
⁢
(
−
1
)
⁢
n
)
Donc pour tout entier
n
,
u
n
=
3
−
2
⁢
n
−
3
⁢
(
−
1
)
⁢
n
4