Corrigé par Pierre Veuillez

    1. V n + 1 = ( u n + 3 u n + 2 u n + 1 ) = ( u n + 2 + u n + 1 u n u n + 2 u n + 1 ) = ( 1 1 1 1 0 0 0 1 0 ) ( u n + 2 u n + 1 u n ) = A V n

      Donc la matrice M = A convient.

    2. ''Démontrer'' nécessite d'avantage de détails que ''suite géométrique de raison M "

      Pour n = 0 , V 0 = I . V 0 = M 0 . V 0 .

      Soit n tel que V n = M n . V 0 . Alors V n + 1 = M V n = M M n . V 0 = M n + 1 V 0 .

      Donc pour tout entier n : V n = M n V 0 .

    1. N + D = ( 1 1 0 0 1 0 0 0 1 ) donc A P = P B ( 1 1 1 1 0 0 0 1 0 ) ( 1 1 1 x a u y b v ) = ( 1 1 1 x a u y b v ) ( 1 1 0 0 1 0 0 0 1 )

      ( 1 + x y 1 + a b 1 + u v 1 1 1 x a u ) = ( 1 2 1 x x + a u y y + b v )

      { 1 + x y = 1 1 + a b = 2 1 + u v = 1 1 = x 1 = x + a 1 = u x = y a = y + b u = v { 1 = 1 2 = 2 1 = 1 x = 1 a = 0 u = 1 y = 1 b = 1 v = 1

      Donc P = ( 1 1 1 1 0 1 1 1 1 ) convient et c'est la seule.

    2. On applique la méthode de Gauss:

      ( 1 1 1 1 0 1 1 1 1 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 0 1 2 0 2 0 | 1 0 0 1 1 0 1 0 1 ) L 1 L 2 L 1 L 3 L 1

      ( 1 0 1 0 1 2 0 0 4 | 0 1 0 1 1 0 1 2 1 ) L 1 + L 2 L 2 L 3 2 L 2 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 1 / 4 1 / 2 1 / 4 1 / 2 0 1 / 2 1 / 4 1 / 2 1 / 4 ) L 1 + L 3 / 4 L 2 L 3 / 2 L 3 / 4

      Donc P est inversible et P 1 = 1 4 ( 1 2 1 2 0 2 1 2 1 )

    3. Comme A P = P B , alors A P P 1 = P B P 1 donc A = P B P 1

      et A n = P B n P 1 .

    1. N 2 = 0 , donc pour tout n 2 , N n = 0 , N 0 = I et N 1 = N .

    2. Or B = D + N et comme D N = N D , on peut appliquer la formule du binôme :

      B n = ( D + N ) n = k = 0 n C k N k D n k et comme N k = 0 pour tout k 2 , B n = k = 0 1 C n k N k D n k + k = 2 n C n k N k D n k = C n 0 N 0 D n 0 + C n 1 N 1 D n 1 + 0 = D n + n N D n 1

      Et comme D est diagonale, on en connait les puissances. Donc B n = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 ( 1 ) n ) + n . ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 ( 1 ) n 1 ) = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 ( 1 ) n ) + n ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) et

      B n = ( 1 n 0 0 1 0 0 0 ( 1 ) n )

    3. Finalement V n = ( u n + 2 u n + 1 u n ) = A n V 0 = P B n P 1 V 0 = P B n 1 4 ( 1 2 1 2 0 2 1 2 1 ) ( 1 1 0 )

      V n = 1 4 P ( 1 n 0 0 1 0 0 0 ( 1 ) n ) ( 1 2 3 ) = 1 4 ( 1 1 1 1 0 1 1 1 1 ) ( 1 2 n 2 3 ( 1 ) n )

      = 1 4 ( 1 2 n 3 ( 1 ) n 1 2 n + 3 ( 1 ) n 3 2 n 3 ( 1 ) n )

      Donc pour tout entier n , u n = 3 2 n 3 ( 1 ) n 4