Soit u la suite définie par : u 0 = 0 , u 1 = 1 , u 2 = 1 et pour tout entier n : u n + 3 = u n + 2 + u n + 1 u n .

Le but de cet exercice est de déterminer la valeur de u n en fonction de n .

On note pour tout entier n : V n = ( u n + 2 u n + 1 u n )

    1. Déterminer une matrice M telle que pour tout entier n , V n + 1 = M V n .

    2. Démontrer que, pour tout entier n : V n = M n . V 0 .

  1. Soit A = ( 1 1 1 1 0 0 0 1 0 ) , D = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) et N = ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) et B = N + D .

    1. Déterminer la matrice P = ( 1 1 1 x a u y b v ) telle que A P = P B .

    2. Monter que P est inversible.

    3. Montrer que A = P B P 1 et en déduire A n en fonction de B n .

    1. Calculer N 2 et en déduire pour tout n entier la valeur de N n .

    2. En déduire la valeur de B n en fonction de n .

    3. Calculer enfin V n puis u n en fonction de n