Corrigé par Pierre Veuillez
Trois méthodes de calcul de puissances.
Soient A=( -200 212 00-2 )   et    =( 000 232 000 )
trois méthodes de calcul de puissance :
  1. Récurrence.
    Soit E={αA+βI  /  (α,β)2 }
    1. E=Vect(A,I) est un sous espace vetoriel de M3 () donc un espace vectoriel et B=(A,I) en est une famille génératrice.
      Soient α et β réels
      Si αA+βI=0 alors α( -200 212 00-2 )+β( 100 010 001 )=0 donc 2α=0 (ligne 2 colonne 1) et -2α+β=0 (ligne 1 colonne 1) donc α=0 et β=0.
      Donc (A,I) est libre.
      C'est donc une base de E
    2. Pour montrer que A2 E il suffit de montrer qu'il est combinaison linéaire de A et de I:
      A2 =( -200 212 00-2 )( -200 212 00-2 )=( 400 -21-2 004 )
      On peut chercher α et β réels tels que A2 =αA+βI en résolvant ou voir directement que -A+2I= A2
      Donc A2 E et ses coordonnées dans la base B sont (-1,2).
      Pour An :
      • on a A0 =0A+1I donc A0 E (et il a pour coordonnées a0 =0 et b0 =1)
      • Soit n tel que An E (et soient ( an , bn ) ses coordonnées dans B)
        Alors An = an A+ bn I et
        An+1 = An ·A=( an A+ bn I)A= an A2 + bn A = an (-A+2I)+ bn A = ( bn - an )A+2 an I

        donc An+1 E et il a pour coordonnées an+1 = bn - an et bn+1 =2 an
      • Donc pour tout entier n,   An E et ses coordonnées ( an , bn ) vérifient an+1 = bn - an et bn+1 =2 an
      Donc en substituant n+1 à n: an+2 = bn+1 - an+1 = an+1 +2 an
    3. La suite ( an )n est donc récurrente, linéaire d'odre 2 à coefficients constants.
      Son équation caractéristique est (EC): r2 =-r+2 r2 +r-2=0 qui a pour racines -2 et 1
      On a donc pour tout entier n: an =α 1n +β (-2)n avec α et β qui vérifient :
      { a0 =α 10 +β (-2)0 a1 =α 11 +β (-2)1 donc { 0=α+β 1=α-2β et { α=1/3 β=-1/3
      Finalement, pour tout entier n: an = 1 3 (1- (-2)n ) et donc bn = an+1 + an = 1 3 (2+ (-2)n )
    4. On a donc
      An = 1 3 (1- (-2)n )A+ 1 3 (2+ (-2)n )I = 1 3 [(1- (-2)n )( -200 212 00-2 )+(2+ (-2)n )( 100 010 001 )] = 1 3 ( 3 (-2)n 00 2-2 (-2)n 32-2 (-2)n 003 (-2)n )

  2. Binôme
    1. 2 =( 000 232 000 )( 000 232 000 )=( 000 696 000 )=3
      On a alors n+1 = 2+n-1 et si n1 alors 2 et n-10 donc
      n+1 = 2+n-1 = 2 n-1 =3 NNn-1 =3 n
      Donc la suite ( n )n1 est géométrique de raison 3 et n = 3n-1 pour n1 alors que 0 =I 3-1
      Ce résultat n'est donc pas valable pour n=0  ?
    2. On a A=-2I
    3. Donc comme ·(-2I)=-2N=(-2I)·N on a alors (binôme)

      An = k=0 n Cn k k (-2I)n-k     on distingue k=0 =\underset1k     et k = 3k-1 k=1 n Cn k (-2)n-k 3k-1 + Cn 0 0 (-2I)n = 1 3 ( k=0 n Cn k (-2)n-k 3k - (-2)n )+ (-2)n I = 1 3 [ (-2+3)n - (-2)n ]+ (-2)n I = 1 3 (1- (-2)n )+ (-2)n I

      et A= 1 3 1(1- (-2)n )( 000 232 000 )+ (-2)n ( 100 010 001 )= 1 3 ( 3 (-2)n 00 2-2 (-2)n 32-2 (-2)n 003 (-2)n )
  3. Diagionalisation.
    Soient u=(-1,0,1),  v=(-3,2,0) et w=(0,1,0)
    1. On montre que B=(u,v,w) est libre :
      Si xu+yv+zw=0 alors (-x-3y  ,  2y+z  ,  x)=0 donc par substitution x=0 y=0 et z=0
      Donc B est une famille libre de cardinal 3=dim 3 donc B est une base de 3
      La matrice de passage P de la base canonique C dans B est celle des coordonnées des vecteurs de B dans C. (en colonne)
      Comme C est la base canonique de 3 , les coordonnées sont le striplets eux-mêmes :
      P=( -1-30 021 100 )
    2. par l'algorithme de Gauss :
      ( -1-30 021 100 100 010 001 ) - L1 L3 + L1 ( 130 021 0-30 -100 010 101 ) L1 -3 L2 /2 L2 /2 L3 +3 L2 /2 ( 10-3/2 011/2 003/2 -1-3/20 01/20 13/21 ) L1 + L3 L2 - L3 /3 2 L3 /3 ( 100 010 001 001 -1/30-1/3 2/312/3 )

      Donc P-1 = 1 3 ( 003 -10-1 232 )
    3. On a :
      P-1 ·A·P= P-1 ( -200 212 00-2 )( -1-30 021 100 )
      =( 001 -1/30-1/3 2/312/3 )( 260 0-41 -200 )=( -200 0-20 001 )=D
      est bien diagonale.
    4. On a donc A=P·D· P-1 et An =P· Dn · P-1
      Et comme D est diagonale, sa puissance s'obtient en élevant les termes de la diagonale à la puissance n:

      An = 1 3 ( 003 -10-1 232 )( (-2)n 00 0 (-2)n 0 001 )( -1-30 021 100 ) = 1 3 ( 003 -10-1 232 )( - (-2)n -3 (-2)n 0 02 (-2)n (-2)n 100 ) = 1 3 ( 300 (-2)n -13 (-2)n 0 -2 (-2)n +203 (-2)n )




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On 18 May 2004, 00:02.