Trois méthodes de calcul de puissances.
Soient A=( -200 212 00-2 )   et    =( 000 232 000 )
  1. Récurrence.
    Soit E={αA+βI/(α,β)2 }
    1. Montrer que E est un espace vetoriel et que B=(A,I) en est une base.
    2. Montrer que A2 E et déterminer ses coordonnées dans B
      En déduire par récurrence que pour tout entier n: An E.
      On note pour tout entier n, ( an , bn ) les coordonnées de An dans la base B.
      Déterminer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn puis an+2 en fonction de an+1 et de an .
    3. Déterminer an et bn en fonction de n.
    4. Ecrire enfin An en fonction de n.
  2. Binôme
    1. Calculer 2 en fonction de et en déduire (sans récurrence) que pour tout n1: n+1 =3 n et en déduire pour n1: n en fonction de n. Ce résultat est-il encore valable pour n=0  ?
    2. Montrer que A est combnaison linéaire de I et de
    3. En déduire l'expression de An en fonction de et de I puis l'expliciter.
  3. Diagonalisation.
    Soient u=(-1,0,1),  v=(-3,2,0) et w=(0,1,0)
    1. Montrer que B=(u,v,w) est une base de 3 et déterminer la matrice de passage P de la base canonique C dans B.
    2. Calculer sa matrice inverse P-1 .
    3. Vérifier que la matrice P-1 ·A·P=D est diagonale.
    4. En déduire l'expression de An en fonction de n.



File translated from TEX by TTM, version 3.59.
On 18 May 2004, 00:02.