On note
l'ensemble des matrices
carrées réelles d'ordre trois et on considère les matrices
suivantes de
:
I. Première partie
Calculer
et
, puis vérifier :
.
Montrer que la famille
est libre dans
.
Montrer que, pour tout entier
supérieur ou égal à
, il existe un couple unique
de nombres
réels tel que :
, et exprimer
et
en fonction de
et
.
Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche
et
pour un entier
donné supérieur ou égal à
.
Montrer, pour tout entier
supérieur ou égal à 1 :
En déduire
et
en fonction de
, pour tout
entier
supérieur ou égal à
.
Donner l'expression de
en fonction de
,
et
,
pour tout entier
supérieur ou égal à
.
II. Seconde partie
On note
l'endomorphisme de
dont la matrice relativement
à la base canonique
de
est
.
Déterminer une base de
et donner la
dimension de
.
Est-ce que
est diagonalisable ?
Est-ce que
est bijectif ?
Déterminer les valeurs propres de
, et donner, pour chaque
sous-espace propre de
, une base de ce sous-espace propre.
Déterminer une matrice diagonale
dont les termes diagonaux
sont dans l'ordre réel croissant, et une matrice inversible
dont la
troisième ligne est formée de termes tous égaux à
,
telles que
, et calculer
.
Déterminer l'ensemble des matrices
de
telles que :
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