EML 2003
On note M3 (\mathbb) l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre trois et on considère les matrices suivantes de M3 (\mathbb) :
I=( 100 010 001 )      A=( 111 100 100 )

I.  Première partie
  1. Calculer A2 et A3 , puis vérifier : A3 = A2 +2A.
  2. Montrer que la famille (A, A2 ) est libre dans M3 (\mathbb).
  3. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, il existe un couple unique ( an , bn ) de nombres réels tel que : An = an A+ bn A2 , et exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn .
  4. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche an et bn pour un entier n donné supérieur ou égal à 1.
    1. Montrer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :
      an+2 = an+1 +2 an

    2. En déduire an et bn en fonction de n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1.
    3. Donner l'expression de An en fonction de A, A2 et n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1.
  
II.  Seconde partie
On note f l'endomorphisme de \mathbb 3 dont la matrice relativement à la base canonique ( e1 , e2 , e3 ) de \mathbb3 est A.
  1. Déterminer une base de (f) et donner la dimension de (f).
    1. Est-ce que f est diagonalisable ?
    2. Est-ce que f est bijectif ?
  2. Déterminer les valeurs propres de f, et donner, pour chaque sous-espace propre de f, une base de ce sous-espace propre.
  3. Déterminer une matrice diagonale D dont les termes diagonaux sont dans l'ordre réel croissant, et une matrice inversible P dont la troisième ligne est formée de termes tous égaux à 1, telles que A= PDP-1 , et calculer P-1 .
  4. Déterminer l'ensemble des matrices M de M3 (\mathbb) telles que :
    AM+MA=0




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On 18 May 2004, 00:02.