Corrigé (ESLSCA 96) par Pierre Veuillez

  1. Chaque personne choisissant l'un des trois menus au hasard, la probabilité qu'elle choisisse le premier est de 1 / 3 . les choix étant indépendants, parmi les n clients, le nombre de personne choisissant ce menu X 1 suit donc une loi binômiale de paramètres n et 1 / 3 . Il en est de même des lois de X 2 et X 3 .

  2. On a ( n X 3 = k ) = ( X 3 = n k )

    Donc p ( n X 3 = k ) = C n n k ( 1 3 ) n k ( 2 3 ) k = C n k ( 1 3 ) n k ( 2 3 ) k

    Donc n X 3 suit une loi binômiale de paramètre n et 2 / 3 .

  3. Or X 1 + X 2 + X 3 = n . Donc X 1 + X 2 = n X 3 suit une loi binômiale de paramètre n et 2 / 3 .

    1. ''tous les clients choisissent le même menu'' = ( ( X 1 = n ) ( X 2 = n ) ( X 3 = n ) ) .

      Ces évènements étant incompatibles,donc p ( tous les clients choisissent le même menu ) = 3. ( 1 / 3 ) n .

    2. ''le restaurateur doit préparer au moins deux menus'' est l'évènement contraire de ''tous les clients choisissent le même menu''. Sa probabilité est donc: p ( b ) = 1 3. ( 1 / 3 ) n .

    3. C'est l'évènement contraire de au moins un n'est pas demandé; donc de M 1 ou M 2 ou M 3 n'est pas demandé.

      Donc (formule du crible) p ( c ) = p ( X 1 = 0 X 2 = 0 X 3 = 0 ) = p ( X 1 = 0 ) + p ( X 2 = 0 ) + p ( X 3 = 0 ) ( p ( X 1 = 0 X 2 = 0 ) + p ( X 1 = 0 X 3 = 0 ) + p ( X 2 = 0 X 3 = 0 ) ) + p ( X 1 = 0 X 2 = 0 X 3 = 0 )

      X 1 , X 2 et X 3 ne sont pas indépendants mais ( X 1 = 0 X 2 = 0 ) = ( X 3 = n ) et ( X 1 = 0 X 2 = 0 X 3 = 0 ) est impossible donc

      p ( c ) = p ( X 1 = 0 ) + p ( X 2 = 0 ) + p ( X 3 = 0 ) ( p ( X 3 = n ) + p ( X 2 = n ) + p ( X 1 = n ) + 0 ) p ( c ) = p ( X 1 = 0 ) + p ( X 2 = 0 ) + p ( X 3 = 0 ) ( p ( X 3 = n ) + p ( X 2 = n ) + p ( X 1 = n ) + 0 ) = 3 * ( 2 / 3 ) n 3 * ( 1 / 3 ) n + 0 = ( 2 n 1 ) / 3 n 1

      Conclusion:

      p ( c ) = 2 n 1 3 n 1

(ESLSCA 96)