Corrigé par Pierre Veuillez

    1. On prend une pièce au hasard dans ce lot et on la lance. Le résultat de ce jet est ''pile''.

      Idée : Le fait que la pièce donne pile dépend de son état : Truquée ( T ) ou Equilibrée ( E ) . On connait donc les probabilités conditionnées en ordre inverse. On passe par la formule de Bayes :

      p ( T / P ) = p ( T P ) p ( P ) = p ( P / T ) p ( T ) p ( P )

      ( T , E ) est un système complet d'événements donc p ( P ) = p ( P / T ) p ( T ) + p ( P / E ) p ( E ) On interprète le conditionnement pour obtenir la probabilité, et les pièces sont équiprobables donc p ( T ) = 50 / 100 = 1 / 2. p ( P ) = 3 4 1 2 + 1 2 1 2 = 5 8 p ( T / P ) = 3 / 8 5 / 8 = 3 5 Donc la probabilité d'avoir obtenu P i l e avec la pièce truquée est de 3/5

    2. L'erreur serait ici de donner le carré du précédent : les deux lancers dépendent en effet de la pièce et ce font avec la même pièce.

      p ( T / 2 P ) = p ( T 2 P ) p ( 2 P ) = p ( 2 P / T ) p ( T ) p ( 2 P )

      ( T , E ) est un système complet d'événements donc p ( 2 P ) = p ( 2 P / T ) p ( T ) + p ( 2 P / E ) p ( E )

      Quand on connait la pièce, les lancers sont indépendants donc p ( 2 P / T ) = p ( P 1 P 2 / T ) = p ( P 1 / T ) p ( P 2 / T ) = ( 3 / 4 ) 2 et de même p ( 2 P / E ) = ( 1 / 2 ) 2 donc

      p ( 2 P ) = 9 16 1 2 + 1 4 1 2 = 13 32 p ( T / 2 P ) = 9 / 32 13 / 32 = 9 13 Donc la probabilité d'avoir obtenu 2 fois P i l e avec la pièce truquée est de 9/13

    1. Eliminer une pièce signifie obtenir au moins un P i l e . C'est donc le contraire de ''obtenir 2 F a c e '' On cheche donc : p ( 2 F / E ) = 1 p ( 2 F / E )

      Or p ( 2 F / E ) = p ( F 1 F 2 / E ) = p ( F 1 / E ) p ( F 2 / E ) = 1 / 4 donc p ( 2 F / E ) = 3 / 4 (il y beaucoup de perte dans les bonnes pièces)

    2. La probabilité de conserver une pièce quand elle est truquée est celle d'obtenir 2 F sachant que la pièce est truqée.

      Or p ( 2 F / T ) = p ( F 1 / T ) p ( F 2 / T ) = 1 / 16 car avec une pièce, les lancers sont indépendants.

      La probabilité de laisser passer une pièce truquée est donc faible.

    3. X 1 est le nombre de pièces truquées éliminées en 50 tests indépendants (pour les pièces truquée), la probabilité à chaque test étant de 15/16

      Donc X 1 suit une loi ( 50 , 15 / 16 ) et E ( X 1 ) = 50 15 / 16 = 50 50 / 16 # 47 en moyenne, il n'y a que 3 pièces truquées qui échappent au tri.

      De même X 2 suit une loi ( 50 , 3 / 4 ) et E ( X 2 ) = 50 3 / 4 = 50 50 / 4 # 37. On ne conserve donc en moyenne que 12 bonnes pièces... la proportion de mauvaises pièces passe de 1/2 à 1/5. Le tri est relativement efficace, mais avec beaucoup de perte !.

      Enfin le nombre moyen de pièces éliminées est E ( X 1 ) + E ( X 2 )