Corrigé par Pierre Veuillez

    1. Les boules de l'urne sont équiprobables donc p ( N 1 ) = 3 / 8 et p ( B 1 ) = 5 / 8

    2. On demande ici p ( N 2 / B 1 ) . Si on a B 1 il reste alors 4 boules blanches. Les boules restantes étant équiprobables, p ( N 2 / B 1 ) = 3 / 7

    3. On demande ici p ( B 1 N 2 ) = p ( B 1 ) p ( N 2 / B 1 ) = 5 / 8 3 / 7 = 15 / 56

    4. ( N 1 , B 1 ) est un système complet d'événements donc p ( N 2 ) = p ( N 2 / N 1 ) p ( N 1 ) + p ( N 2 / B 1 ) p ( B 1 ) = 2 7 3 8 + 3 7 5 8 = 3 8

      Ce que l'on aurait pu trouver en constatant que toutes les boules du départ sont équiprobables.

      On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues lors des deux tirages.

    1. ( X = 0 ) = on n'a obtenu que des N = ( N 1 N 2 ) donc p ( X = 0 ) = p ( N 1 ) p ( N 2 / N 1 ) = 3 / 8 2 / 7 = 3 / 28

    2. ( X = 2 ) = ( B 1 B 2 ) et p ( X = 2 ) = p ( B 1 ) p ( B 2 / B 1 ) = 5 / 8 4 / 7 = 5 / 14 d'où comme ( X = 0 , X = 1 , X = 2 ) est un système complet d'événments, p ( X = 1 ) = 1 p ( X = 0 ) p ( X = 2 ) = 1 13 / 28 = 15 / 28

    3. i 0 1 2
      p ( X = i ) 3/28 15/28 10/28
      i p ( X = i ) 0 15/28 20/28 E ( X ) = 35 / 28

      Le nombre moyen de boules blanches obtenues est donc E ( X ) = 35 / 28