Corrigé EML 1999 par Pierre Veuillez

  1. Dans cette question, on suppose que l'urne contient initialement b boules blanches et r boules rouges, où b et r sont des entiers naturels non nuls.

    1. Les boules sont équiprobables donc p ( B 1 ) = b / ( b + r )

    2. ( B 1 , R 1 ) est un système complet d'événements donc p ( B 2 ) = p ( B 2 / B 1 ) p ( B 1 ) + p ( B 2 / R 1 ) p ( R 1 ) le conditionnement précise les boules rajoutées donc comme les boules sont équiprobables, p ( B 2 ) = p ( B 2 / b + c B  et  r R ) p ( B 1 ) + p ( B 2 / b B  et  r + c R ) p ( R 1 ) = b + c b + c + r b b + r + b b + c + r r b + r = b ( b + c + r ) ( b + r ) ( b + c + r ) = b b + r = p ( B 1 )

    3. On demande p ( B 1 / B 2 ) = p ( B 1 B 2 ) p ( B 2 ) = p ( B 1 ) p ( B 2 / B 1 ) p ( B 2 ) = p ( B 2 / B 1 ) = b + c b + c + r

  2. Dans cette question, on suppose que l'urne contient initialement une boule blanche et une boule rouge et que c = 1 .

    Pour tout entier naturel non nul n , on note X n la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues au cours des n premiers tirages.

    1. ( X 1 = 0 ) = ''on n'a obtenu aucune Blanche en 1 tirage'' = R 1 et p ( X 1 = 0 ) = 1 / 2 car les boules sont équiprobables et de même p ( X 1 = 1 ) = 1 / 2

    2. ( X 2 = 0 ) = R 1 R 2 et p ( X 2 = 0 ) = p ( R 1 ) p ( R 2 / R 1 ) = 1 2 p ( R 2 / 1 B  et  2 R ) = 1 2 2 3 = 1 3

      ( X 2 = 1 ) = ( R 1 B 2 ) ( B 1 R 2 ) et p ( X 2 = 1 ) = p ( R 1 B 2 ) + p ( B 1 R 2 ) car B 1 et R 1 sont incompatibles ; p ( X 2 = 1 ) = p ( R 1 ) p ( B 2 / R 1 ) + p ( B 1 ) p ( R 2 / B 1 ) = 1 2 1 3 + 1 2 1 3 = 2 6 = 1 3

      Enfin ( X 2 = 2 ) = B 1 B 2 et p ( X 2 = 2 ) = p ( B 1 ) p ( B 2 / B 1 ) = 1 2 p ( B 2 / 2 B  et  1 R ) = 1 2 2 3 = 1 3

    3. On a pour n = 1 , pour tout k [ [ 0 , 1 ] ] , p ( X 1 = k ) = 1 / 2

      Soit n tel que k [ [ 0 , n ] ] , p ( X n = k ) = 1 / ( n + 1 )

      Est-ce que k [ [ 0 , n + 1 ] ] , p ( X n + 1 = k ) = 1 / ( n + 1 ) ?

      Or ( X n + 1 = k ) = [ ( X n = k ) R n + 1 ] [ ( X n = k 1 ) B n + 1 ] car si on a eu B n + 1 on en avait eu une de moins avant et si on a eu R n + 1

      donc p ( X n + 1 = k ) = p [ ( X n = k ) R n + 1 ] + p [ ( X n = k 1 ) B n + 1 ] car B n + 1 et R n + 1 sont incompatibles et

      p ( X n + 1 = k ) = p ( X n = k ) p ( R n + 1 / X n = k ) + p ( X n = k 1 ) p ( B n + 1 / X n = k 1 ) le conditionnement précise le nombre de boules rajoutées à l'urne : quand X n = k , on a rajouté k boules blanches et donc n k boules rouges donc p ( X n + 1 = k ) = p ( X n = k ) p ( R n + 1 / k + 1 B  et  n k + 1 R ) + p ( X n = k 1 ) p ( B n + 1 / k B  et  n k + 2 R ) = 1 n + 1 n k + 1 n + 2 + 1 n + 1 k n + 2 = 1 n + 2

      On utilise ici que si k [ [ 0 , n ] ] , p ( X n = k ) = 1 / ( n + 1 ) donc p ( X n = k 1 ) = 1 / ( n + 1 ) si k [ [ 1 , n + 1 ] ]

      On ne peut donc pas utiliser la valeur de p ( X n = k ) pour k = n + 1 ni p ( X n = k 1 ) pour k = 0.

      Mais (heureuse coïncidence) quand k = n + 1 on a p ( R n + 1 / k + 1 B  et  n k + 1 R ) = 0 et quand k = 0 , on a p ( B n + 1 / k B  et  n k + 2 R ) = 0 donc la formule est encore vraie pour ces deux valeurs.

      Donc on a bien le résultat pour tout entier n

  3. Pour tous entiers naturels non nul n , x et y , on note u n ( x , y ) la probabilité d'obtenir une boule blanche après n tirages, lorsque l'urne contient initialement x boules blanches et y boules rouges.

    (On admettra que c'est aussi la probabilité conditionnelle d'obtenir une boule blanche n tirages plus tard lorsque, à l'issue d'un tirage, l'urne contenait x boules blanches et y boules rouges.)

    1. Si l'urne contient initiallement x blanches et y rouges, ( B 1 , R 1 ) est un sysstème complet d'événements donc u n + 1 ( x , y ) = p ( B n + 1 ) = p ( B n + 1 / B 1 ) p ( B 1 ) + p ( B n + 1 / R 1 ) p ( R 1 )

      Or si on a obtenu B 1 , on rajoute c blanches et on a encore n tirages à faire en débutant avec x + c blanches et r rouges. Donc p ( B n + 1 / B 1 ) = u n ( x + c , y )

      Et si on a obtenu R 1 on rajoute c rouges et on a encore n tirages à faire en débutant avec x blanches et r + c rouges. Donc p ( B n + 1 / R 1 ) = u n ( x , y + c ) donc u n + 1 ( x , y ) = u n ( x + c , y ) x x + y + u n ( x , y + c ) y x + y

    2. Celà est vrai pour n = 1.

      Si pour n , u n ( x , y ) = x x + y est vrai pour tout x et y alors u n + 1 ( x , y ) = u n ( x + c , y ) x x + y + u n ( x , y + c ) y x + y = x + c x + y + c x x + y + x x + y + c y x + y = x ( x + c + y ) ( x + y + c ) ( x + y ) = x x + y Donc pour tout entier n , u n ( x , y ) = x x + y pour tout x et y .

(EML 1999)