EML 1999

Les questions 1 , 2 et 3 sont indépendantes les unes des autres.

La lettre c désigne un entier naturel non nul fixé.

Une urne contient initialement des boules blanches et des boules rouges, toutes indiscernables au toucher.

On effectue des tirages successifs d'une boule dans l'urne selon le protocole suivant: après chaque tirage, la boule tirée est remise dans l'urne, et on rajoute dans l'urne, avant le tirage suivant, c boules de la couleur de la boule qui vient d'être tirée.

  1. Dans cette question, on suppose que l'urne contient initialement b boules blanches et r boules rouges, où b et r sont des entiers naturels non nuls.

    1. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche au premier tirage?

    2. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche au deuxième tirage?

    3. Si la deuxième boule est blanche, quelle est la probabilité que la première boule tirée ait été blanche?

  2. Dans cette question, on suppose que l'urne contient initialement une boule blanche et une boule rouge et que c = 1 .

    Pour tout entier naturel non nul n , on note X n la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues au cours des n premiers tirages.

    1. Déterminer p ( X 1 = 0 ) et p ( X 1 = 1 ) (i.e. la loi de X 1 )

    2. Déterminer p ( X 2 = 0 ) , p ( X 2 = 1 ) et p ( X 2 = 2 ) .

    3. Démontrer, par récurrence sur n , que: k [ [ 0 , n ] ] , p ( X n = k ) = 1 / ( n + 1 )

  3. Pour tous entiers naturels non nul n , x et y , on note u n ( x , y ) la probabilité d'obtenir une boule blanche après n tirages, lorsque l'urne contient initialement x boules blanches et y boules rouges.

    (On admettra que c'est aussi la probabilité conditionnelle d'obtenir une boule blanche n tirages plus tard lorsque, à l'issue d'un tirage, l'urne contenait x boules blanches et y boules rouges.)

    1. Montrer que en utilisant un système complet d'événements liés à l'issue du premier tirage, que, pour tout entiers naturels non nul n , x et y , on a : u n + 1 ( x , y ) = u n ( x + c , y ) x x + y + u n ( x , y + c ) y x + y

    2. En déduire, par récurrence, que, pour tous entiers naturels non nuls n , x et y , on : u n ( x , y ) = x x + y

(EML 1999)