Corrigé EDHEC 1999 par Pierre Veuillez

    1. Attention : On connait la probabilité d'événements du type ( X = i ) pour i fixé.
      ( X + Y = k ) peut s'écrire ( Y = k X ) mais k X n'est pas un entier mais une variable aléatoire.

      Pour k [ | 2 , n + 1 | ]

      On peut utiliser deux méthodes :

      • décomposer ( X + Y = k ) en fonction des valeurs de X et de
        les valeurs de i étant celles pour lesquelles X = i et Y = k i sont possibles.

      • calculer la probabilité de ( Y = k X ) en conditionnant par la valeur de X pour la fixer : en passant par la formule des probabilités totales.

      Par la première méthode :

      On veut que 1 i n et que 1 k i n que l'on résout par rapport à i , puisque c'est sur i que l'on fait la réunion.

      1 k i n k n i k 1

      Donc pour avoir les deux contions, il faut

      • que i soit supérieur au plus grand de 1 et de k n . Il faut donc déterminer qui est le plus grand. Celà dépend de k . Et commme k n + 1 alors k n 1. Le plus grand des deux est donc 1 et les deux conditions équivalent à 1 i

      • que i soit inférieur au plus petit de n et de k 1 et commme k n + 1 on a k 1 n et le plus petit des deux et k 1. Les deux conditions équivalent donc à i k 1.

      Finalement ( X + Y = k ) = i = 1 k 1 ( X = i Y = k i ) et les événements étant incompatibles :

      p ( X + Y = k ) = i = 1 k 1 p ( X = i Y = k i ) = i = 1 k 1 p ( X = i ) p ( Y = k i ) = i = 1 k 1 1 n 1 n = k 1 n 2

      les probabilité sont 1 / n car dans la somme on a 1 i k 1 donc 1 i n et 1 k i n (conditions que l'on a résolu justement)

      Par la seconde méthode :

      ( X = i ) i [ [ 1 , n ] ] est un système complet d'événements. Donc

      p ( Y = k X ) = i = 1 n p ( Y = k X / X = i ) p ( X = i ) = i = 1 n p ( Y = k i / X = i ) p ( X = i ) = i = 1 n p ( Y = k i ) p ( X = i )      car  Y  et  X  sont indépendantes

      Attention : pour pouvoir utiliser la loi, il faut savoir, pour X , que i [ [ 1 , n ] ] , ce qui est le cas, mais également que k i [ [ 1 , n ] ] ce qui n'est pas évident !

      1 k i n k n i k 1. Condition qu'il faut donc vérifier.

      Comme k n + 1 alors on a k n 1 et donc et pour tous les indices de la somme la relation est vérifiée..

      Mais comme k n + 1 alors k 1 n et seuls les termes de la somme jusqu'à k 1 rentreront dans la loi uniforme...Il faut donc à présent découper la somme en 2 : p ( Y = k X ) = i = 1 k 1 p ( Y = k i ) p ( X = i ) + i = k n p ( Y = k i ) p ( X = i ) = i = 1 k 1 1 n 1 n + i = k n 0 = k 1 n 2

    2. Pour k [ | n + 2 , 2 n | ] On refait ici la même décomposition.

      Mais cette fois, comme k n + 2 alors k n 2 et la double condition 1 i et k n i équivaut à k n i

      et de même k n + 2 donc k 1 n + 1 donc la double condition i n et i k 1 équivaut à i n

      Finalement ( X + Y = k ) = i = k n n ( X = i Y = k i ) et les événements étant incompatibles : p ( X + Y = k ) = i = k n n p ( X = i Y = k i ) = i = k n n 1 n 1 n = n ( k n ) + 1 n 2 = 2 n k + 1 n 2

  1. ( Z = k ) k [ [ 1 , n ] ] est un système complet d'événements donc P ( X + Y = Z ) = k = 1 n P ( X + Y = Z / Z = k ) p ( Z = k ) = k = 1 n P ( X + Y = k ) p ( Z = k )

    Ici, seule la valeur k = 1 joue un rôle particulier, où P ( X + Y = 1 ) = 0 car la valeur minimale de la somme est 2. P ( X + Y = Z ) = k = 2 n P ( X + Y = k ) p ( Z = k ) + 0 = k = 2 n k 1 n 2 1 n = 1 n 3 k = 2 n ( k 1 ) = 1 n 3 h = 1 n 1 h = ( n 1 ) n n 3 2 = n 1 2 n 2

    1. Ici, on revient à la définition : valeurs possibles et probabilités.

      1 Z n 1 n + 1 Z n donc T ( Ω ) = [ [ 1 , n ] ] et pour tout k [ [ 1 , n ] ] on a p ( T = k ) = p ( n + 1 Z = k ) = p ( Z = n + 1 k ) = 1 n car n + 1 k [ [ 1 , n ] ]

      Finalement T = n + 1 Z suit la loi 𝒰 [ | 1 , n | ] .

    2. Comme Z est indépendante de X et de Y alors n + 1 Z l'est aussi. (les événements liés à T ne sont liés qu'à Z )

    3. P ( X + Y + Z = n + 1 ) s'écrit P ( X + Y = n + 1 Z ) = P ( X + Y = T ) et on est ramené aux conditions initiales de l'exercice avec trois variables X , Y et T indépendantes. Donc P ( X + Y + Z = n + 1 ) = n 1 2 n 2

EDHEC 1999