EDHEC 1999

Soient X , Y et Z trois variables aléatoires mutuellement indépendantes et définies sur le même espace probabilisé ( Ω , 𝒜 , P ) . On suppose que X , Y et Z suivent la loi 𝒰 [ | 1 , n | ]

( c'est-à-dire que : k [ | 1 , n | ] , P ( X = k ) = P ( Y = k ) = P ( Z = k ) = 1 n ).

    1. Montrer que : k [ | 2 , n + 1 | ] , P ( X + Y = k ) = k 1 n 2 .

    2. Montrer que : k [ | n + 2 , 2 n | ] , P ( X + Y = k ) = 2 n k + 1 n 2 .

  1. Utiliser la formule des probabilités totales pour déduire de la première question que :

    P ( X + Y = Z ) = n 1 2 n 2 .

    1. Montrer que la variable aléatoire T = n + 1 Z suit la loi 𝒰 [ | 1 , n | ] .

    2. Pourquoi T est-elle indépendante de X et de Y ?

    3. En faisant intervenir la variable T et en utilisant la deuxième question, déterminer la probabilité P ( X + Y + Z = n + 1 ) .