Corrigé ESCO 90 par Pierre Veuillez

    1. a 0 = p ( A 0 ) = 1 car elle est en A à l'instant 0.

      b 0 = 0 et s 0 = 0 pour la même raison.

      a 1 = p ( A 1 ) = 1 / 3 car elle était en A à l'instant 0.

      b 1 = 2 / 3 et s 1 = 0 car elle ne peut pas sortit avant l'instant 2.

      s 2 = p ( S 2 ) = p ( A 0 B 1 D 2 ) = p ( A 0 ) p ( B 1 / A 0 ) p ( D 2 / A 0 B 1 ) = 1 2 / 3 1 / 4 = 1 / 6

    2. On demande p ( B 1 / A 2 ) = p ( B 1 A 2 ) p ( A 2 ) = p ( B 1 ) p ( A 2 / B 1 ) p ( A 2 ) Comme ( A 1 , B 1 ) est un système complet d'événements, p ( A 2 ) = p ( B 1 ) p ( A 2 / B 1 ) + p ( A 1 ) p ( A 2 / A 1 ) = 2 3 1 4 + 1 3 1 3 = 5 18

      et p ( B 1 / A 2 ) = 2 3 1 4 5 18 = 3 5

    3. Pour être en A à l'instant n + 1 elle pouvait être en A ou en B à l'instant précédent. donc A n + 1 = ( A n A n + 1 ) ( B n A n + 1 ) et de la même façon B n + 1 = ( A n B n + 1 ) ( B n B n + 1 ) .

      Comme les ( A n A n + 1 ) et ( B n A n + 1 ) sont incompatibles, p ( A n + 1 ) = p ( A n A n + 1 ) + p ( B n A n + 1 ) = p ( A n ) p ( A n + 1 / A n ) + p ( B n ) p ( A n + 1 / B n ) a n + 1 = 1 3 a n + 1 4 b n et de la même façon b n + 1 = 2 3 a n + 1 2 b n .

    1. On a pour tout n , b n + 1 = 2 3 a n + 1 2 b n = 2 ( 1 3 a n + 1 4 b n ) = 2 a n + 1 . Donc pour tout entier n * , b n = 2 a n . (en substituant n à n + 1 )

    2. On a alors: pour tout entier n 1 , a n + 1 = 1 3 a n + 1 4 2 a n = 5 6 a n donc a est une suite géométrique de raison 5/6 et de premier terme a 1 = 1 / 3 donc a n = ( 5 6 ) n 1 1 3 = ( 5 6 ) n 1 3 6 5 = ( 5 6 ) n 2 5  pour  n 1 et donc b n = 4 5 ( 5 6 ) n

    3. Comme | 5 6 | < 1 , b n et a n tendent vers 0 quand n tend vers + . Donc la guèpe finira par se retrouver dehors.

    1. La guèpe ''sort'' si l'instant d'avant elle était en B et que l''instant d'après elle est dehors.

      Donc à partir de l'instant n = 2 , s n = p ( S n ) = p ( B n 1 S n ) = p ( B n 1 ) p ( S n / B n 1 ) = 1 4 b n 1 = 1 5 ( 5 6 ) n 1 = 6 ( 5 6 ) n

    2. La guèpe est dehors à l'instant 10 si elle sort entre l'instant 2 et10.

      Donc D 1 0 = k = 2 10 S k  et  p ( D 1 0 ) = k = 2 10 p ( S k ) = k = 2 10 6 ( 5 6 ) k = 6 k = 2 10 ( 5 6 ) k p ( D 1 0 ) = 6 k = 0 8 ( 5 6 ) k + 2 = 5 ( 5 6 ) 2 ( 5 6 ) 8 1 5 6 1 = 5 3 6 ( 1 ( 5 6 ) 8 )

      ou plus simplement, elle est dehors si elle n'est ni en A ni en B et D 1 0 = A 1 0 B 1 0

(ESCO 90)