ESCO 90

Deux pièces (une chambre et la salle) A et B sont reliées entre elles de la façon suivante: A ouvre sur B et B ouvre sur l'exterrieur. Une guèpe initiallement (à l'instant 0) dans la pièce A voudrait sortir à l'air libre. A chaque instant n son trajet obéit aux règles suivantes:

Pour tout entier n , on notera A n l'événement ''la guèpe est dans la pièce A à l'instant n '' et de même B n .

D n pour ''être dehors à l'instant n '' et S n l'événement ''la guèpe sort à l'instant n ''.

On notera a n , b n , d n et s n leurs probabilités respectives.

    1. Déterminer les probabilités a 0 , b 0 , s 0 , a 1 , b 1 , s 1 et s 2 .

    2. Sachant qu'à l'instant 2 elle est en A , quelle est la probabilité qu'elle ait été en B à l'instant 1 ?

    3. Justifier que pour tout entier n :

      A n + 1 = ( A n A n + 1 ) ( B n A n + 1 ) et B n + 1 = ( A n B n + 1 ) ( B n B n + 1 )

      et en déduire pour tout entier n , les relations de récurrence suivantes :

      a n + 1 = 1 3 a n + 1 4 b n et b n + 1 = 2 3 a n + 1 2 b n

    4. \QLS{} Montrer que pour tout entier n * , b n = 2 a n .

    5. En déduire pour n 1 , l'expression de a n et de b n en fonction de n .

    6. Calculer les limites de a n et de b n quand n tend vers + et interprèter ce résultat.

    1. Justifier que pour tout entier n 2 , s n = 1 4 b n 1 et en déduire s n en fonction de n .

    2. Déterminer la probabilité que la guèpe soit dehors à l'instant 10. (on ne cherchera pas à simplifier le résultat)

(ESCO 90)