Corrigé par Pierre Veuillez

EML 1991

  1. Étude des variables aléatoires F i .

    1. Les tirages (avec remise) sont indépendants les uns des autres, la probabilité de tiré le jeton i à chaque tirage est de 1 / p , donc le nombre de fois F i où le jeton i a été tiré en N tirages suit une loi binomiale de paramètres N et 1 / p .

      Donc E ( F i ) = N / p et V ( F i ) = N ( 1 1 / p ) 1 p = N ( p 1 ) p 2

    2. F = i = 1 p F i est le nombre total de jetons tirés pour tous les numéros de 1 à p . Donc le nombre tirages.

      Donc F = N et E ( F ) = N et V ( F ) = 0 .

    3. Si les variables étaient indépendantes, on aurait V ( F ) = i = 1 n V ( F i ) ce qui n'est pas le cas ici. Donc les variables ne sont pas indépendantes

  2. Étude des variables aléatoires X i .

    1. ( X i = 0 ) est l'événement ''le jeton i n'a pas été tiré'' = ( F i = 0 )

      Donc p ( X i = 0 ) = C N 0 ( 1 p ) 0 ( 1 1 p ) N = ( p 1 p ) N et donc
      p ( X i = 1 ) = 1 ( p 1 p ) N

      Donc X i est une variable de Bernouilli de paramètre p ( X i = 1 ) et son espérance est
      E ( X i ) = 1 ( p 1 p ) N et V ( X i ) = ( p 1 p ) N ( 1 ( p 1 p ) N ) .

    2. Sachant que X j = 0 , l'expérience a consisté alors à tirer les jetons parmi p 1 ( tous sauf le j ème).

      Donc p ( X i = 0 / X j = 0 ) = ( p 2 p 1 ) N ( p 1 p ) N

      Donc X i et X j ne sont pas indépendantes.

    3. On ne cherche pas la loi de X mais on calclue directement l'espérance de la somme : E ( X ) = i = 1 p E ( X i ) = p ( 1 ( p 1 p ) N )

  3. Application

    1. Les boules représentent les différents sites; Les tirages représentent les appels. F i est le nombre de fois où le ième site est appelé. X i indique si le i ème site a été ou non appelé.

      X représente le nombre de site qui ont été appelés.

    2. Infaisable sans calculatrice ...

      Ici E ( F i ) = 50 / 15 # 3 , 3 donc p ( X i = 0 ) = ( 14 15 ) 50 # 0 , 03 et E ( X i ) # 0 , 97 d'où enfin, E ( X ) # 14 , 5

      Donc, même si chaque site ne reçoit en moyenne que 3 appels, en moyenne les 15 sites (14,5) sont appelé chaque jours. Aussi, la présence du SAV sur chaque site répond-il à un réel besoin.