EML 1991

Une urne contient p jetons num\erot\es de 1 \a p ( p 2 ). On effectue N tirages successifs ( N 1 ): chaque tirage consiste \a prendre un jeton dans l'urne, noter son num\ero, puis remettre le jeton dans l'urne.

Pour tout entier i compris entre 1 et p , on d\efinit les variables al\eatoires F i et X i comme suit:

\hskip 20mm F i est le nombre de fois o\u le jeton num\erot\e i a \et\e tir\e

\hskip 20mm X i prend la valeur 0 si le jeton num\erot\e i n'a pas \et\e tir\e et prend la valeur 1 si le jeton num\erot\e i a \et\e tir\e au moins une fois.

  1. \Etude des variables al\eatoires F i .

    1. Pour tout i compris entre 1 et p , d\eterminer l'esp\erance et la variance de la variable al\eatoire F i .

    2. On consid\ere la variable al\eatoire F = i = 1 p F i .

      Que vaut F ? Calculer l'esp\erance et la variance de F .

    3. Est-ce que les variables al\eatoires F i sont deux \a deux ind\ependantes ?

  2. \Etude des variables al\eatoires X i .

    1. Pour tout i compris entre 1 et p , d\eterminer l'esp\erance et la variance de la variable al\eatoire X i .

    2. Soient i et j deux entiers distincts compris entre 1 et p .

      D\eterminer la probabilit\e pour que X i = 0 sachant que X j = 0 .

      Est-ce que les variables al\eatoires X i et X j sont ind\ependantes ?

    3. D\eterminer l'esp\erance de la variable al\eatoire X = i = 1 p X i .

  3. Application

    Vous \etes responsable du service apr\es-vente d'une chaîne de magasins. Ce service est pr\esent sur quinze sites et, au total, il reçoit en moyenne cinquante appels par jour.

    1. En utilisant le d\ebut de l'exercice pour mod\eliser cette situation, donner une interpr\etation des variables al\eatoires F i , X i et X .

    2. Calculer des valeurs approch\ees \a 10 1 pr\es de l'esp\erance de F i , de l'esp\erance de X i et de l'esp\erance de X .

      Commenter brièvement ces résultats .