(ECRICOME 2002)

Une urne contient une boule blanche et une boule noire, les boules \etant indiscernables au toucher.

On y pr\el\eve une boule, chaque boule ayant la même probabilit\e d'être tir\ee, on note sa couleur, et on la remet dans l'urne avec c boules de la couleur de la boule tir\ee. On r\ep\ete cette \epreuve, on r\ealise ainsi une succession de n tirages ( n 2 ).

Étude du cas c = 0 .

On effectue donc ici n tirages avec remise de la boule dans l'urne.

On note X la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules blanches obtenues au cours des n tirages et Y la variable aléatoire réelle définie par :

  1. Déterminer la loi de X . Donner la valeur de E ( X ) et de V ( X ) .

  2. Pour k { 1 , , n } , déterminer la probabilité P ( Y = k ) de l'événement ( Y = k ) , puis déterminer P ( Y = 0 ) .

  3. Vérifier que : k = 0 n P ( Y = k ) = 1.

  4. Pour x 1 et n entier naturel non nul, montrer que : k = 1 n k x k = n x n + 2 ( n + 1 ) x n + 1 + x ( 1 x ) 2 .

  5. En déduire E ( Y ) .

Étude du cas c 0 .

On considère les variables aléatoires ( X i ) 1 i n définies par :

On définit alors, pour 2 p n , la variable aléatoire Z p , par : Z p = i = 1 p X i .

  1. Que représente la variable Z p ?

  2. Donner la loi de X 1 et l'espérance E ( X 1 ) de X 1 .

  3. Déterminer la loi du couple ( X 1 , X 2 ) . En déduire la loi de X 2 puis l'espérance E ( X 2 ) .

  4. Déterminer la loi de probabilité de Z 2 .

  5. Déterminer l'univers image Z p ( Ω ) de Z p .

  6. Soit p n 1 .

    1. Déterminer P ( X p + 1 = 1 / Z p = k ) pour k Z p ( Ω ) .

    2. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que : P ( X p + 1 = 1 ) = 1 + c E ( Z p ) 2 + p c .

    3. En déduire que X p est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre 1 2 .

      (On raisonnera par récurrence sur p : les variables X 1 , X 2 , ...., X p étant supposées suivre une loi de de Bernoulli de paramètre 1 2 , et on calculera E ( Z p ) ).

(ECRICOME 2002)